Miara ściśle dodatnia

Miara ściśle dodatniamiara, która „nigdzie nie znika” lub też „zeruje się tylko w punktach”.

Definicja formalna

edytuj

Niech   będzie topologiczną przestrzenią Hausdorffa, zaś   będzie σ-algebrą na   zawierającą topologię   co gwarantuje, że każdy zbiór otwarty jest mierzalny, zaś   jest przynajmniej tak bogata jak σ-algebra borelowska na   Miarę   określoną na   nazywa się ściśle dodatnią, jeżeli każdy niepusty podzbiór otwarty   jest dodatniej miary.

W zwięźlejszym zapisie:   jest ściśle dodatnia wtedy i tylko wtedy, gdy

 

Przykłady

edytuj
  • Miara licząca określona na dowolnym zbiorze   (wyposażonym w jakąkolwiek topologię) jest ściśle dodatnia.
  • Miara Diraca zwykle nie jest ściśle dodatnia, o ile topologia   nie jest dostatecznie „uboga” (ma „mało” zbiorów). Przykładowo   określona na prostej rzeczywistej z jej standardowymi, borelowskimi topologią i σ-algebrą nie jest ściśle dodatnia; jednakże, jeśli   jest wyposażona w trywialną topologię   to   jest ściśle dodatnia. Przykład ten ilustruje istotność topologii przy określaniu ścisłej dodatniości miary.
  • Miara Gaussa na przestrzeni euklidesowej   (z jej borelowskimi topologią i σ-algebrą) jest lokalnie skończona.
    • miara Wienera na przestrzeni dróg w   jest ściśle dodatnia – miara Wienera jest przykładem miary Gaussa na nieskończeniewymiarowej przestrzeni.
  • Miara Lebesgue’a na   (z jej borelowskimi topologią i σ-algebrą) jest ściśle dodatnia.
  • Miara trywialna nigdy nie jest ściśle dodatnia, bez względu na przestrzeń, czy użytą topologię.

Własności

edytuj
  • Jeżeli   są miarami określonymi na topologicznej przestrzeni mierzalnej   przy czym   jest ściśle dodatnia, a ponadto bezwzględnie ciągła względem   to   także jest ściśle dodatnia.
  • Na mocy powyższej własności ścisła dodatniość jest niezmiennikiem względem równoważności miar.

Zobacz też

edytuj