Naprężenie

Naprężenie – w mechanice ośrodków ciągłych jest wielkością fizyczną wyrażającą siły wewnętrzne, jakie sąsiednie cząstki materiału ciągłego wywierają na siebie. Naprężenie reprezentuje równocześnie dwa kierunki: kierunek działania siły oraz kierunek orientacji powierzchni – nie jest więc ani skalarem ani wektorem, lecz tensorem drugiego rzędu.

Fragment kątomierza z tworzywa sztucznego. Kolorowe wzory ilustrują rozkład naprężeń.

W niektórych sytuacjach (np. jednoosiowy stan naprężenia) operować można jedynie na jednej bądź dwóch składowych tensora naprężenia. Składowe te można wówczas traktować w uproszczeniu jako wielkości skalarne, a ich ‘sumę geometryczną’ jako wielkość wektorową.

Naprężenie stanowi jedno z najważniejszych pojęć inżynierskich. Wyznaczanie naprężeń w poszczególnych punktach konstrukcji jest przeprowadzane w trakcie jej projektowania, gdyż naprężenia decydują o bezpieczeństwie użytkowania konstrukcji.

Definicja

Naprężenie $S$ w punkcie przekroju jest wielkością określoną wzorem:

$S_{ik}=\lim _{A_{k}\to 0}{\frac {F_{i}}{A_{k}}}$

lub w wersji różniczkowej

$S_{ik}={\frac {\partial F_{i}}{\partial A_{k}}}.$

Wektor naprężenia można rozłożyć na składową styczną i składową normalną (prostopadłą) do przekroju:

${\vec {S}}=\sigma {\vec {n}}+\tau {\vec {t}},$

gdzie:

$S_{ik}$ – tensor naprężeń,

${\vec {s}}$ – wypadkowy wektor naprężenia,

$F_{i}$ – wypadkowy wektor elementarnych sił wewnętrznych działających na elementarną powierzchnię zorientowaną $A_{k},$

$A_{k}$ – powierzchnia zorientowana, na która działa siła,

$\sigma$ – wartość składowej normalnej (prostopadłej) do przekroju,

${\vec {n}}$ – wersor normalny do powierzchni,

$\tau$ – składowa styczna, ścinająca (równoległa do przekroju),

${\vec {t}}$ – wersor równoległy do powierzchni.

Jednostki

Jednostką naprężenia w układzie SI jest paskal, w skrócie Pa. W praktyce inżynierskiej stosuje się również atmosferę techniczną (kG/cm², kG/mm²), a w Stanach Zjednoczonych funt na cal kwadratowy (pound per square inch – psi oraz kilopound per square inch – ksi). W polskim środowisku inżynierskim na 1 psi mówi się niekiedy żartobiwie ‘1 pies’.

Przeliczniki jednostek:

1 kG/cm² = 98066,5 Pa

1 psi = 6894,757 Pa

1 ksi = 6894757 Pa = 6,894757 MPa

Kartezjański układ współrzędnych

Oznaczenia składowych stanu naprężenia.

W każdym punkcie ciała można przyjąć (zaczepić) dowolnie zorientowany, kartezjański układ współrzędnych, w którym to układzie określa się składowe stanu naprężenia w tym punkcie. Wykonując trzy przekroje prostopadłe do osi przyjętego układu, można wyznaczyć, względem tych płaszczyzn, dziewięć składowych stanu naprężenia. Są to kolejno:

$\sigma _{x},\;\tau _{xy},\;\tau _{xz},\;\sigma _{y},\;\tau _{yx},\;\tau _{yz},\;\sigma _{z},\;\tau _{zx},\;\tau _{zy}.$

Jeżeli zwrot wektora naprężenia normalnego skierowany jest „na zewnątrz” otoczenia punktu, naprężenie normalne przyjmuje wartość dodatnią i nazywane jest naprężeniem rozciągającym. W przeciwnym razie jest naprężeniem ściskającym.

Na przykład w przypadku „górnej” powierzchni sześcianu (patrz rysunek), czyli prostopadłej do osi $z$ można napisać:

${\vec {s}}=\sigma _{z}{\vec {k}}+\tau _{zx}{\vec {i}}+\tau _{zy}{\vec {j}}=\sigma {\vec {n}}+{\vec {\tau }},$

gdzie:

${\vec {k}}={\vec {n}}$ – wersor osi $z,$ a jednocześnie wektor normalny do rozpatrywanej powierzchni;

${\vec {i}},{\vec {j}}$ – wersory osi odpowiednio $x$ i $y.$

Składowe naprężeń stycznych spełniają następujące równości:

$\tau _{xy}=\tau _{yx},\;\tau _{xz}=\tau _{zx},\;\tau _{yz}=\tau _{zy}.$

W rozważanym punkcie ciała można tak zorientować układ współrzędnych, aby naprężenia styczne były równe zeru, a niezerowe pozostawały jedynie naprężenia normalne. Tak zorientowany układ współrzędnych wyznacza kierunki główne stanu naprężenia. Odpowiadające im niezerowe składowe normalne to wartości główne naprężeń lub po prostu naprężenia główne: $\sigma _{1}\leqslant \sigma _{2}\leqslant \sigma _{3},$ przy czym $\sigma _{1}=\sigma _{min},\;\sigma _{3}=\sigma _{max}.$

Wyznaczanie kierunków naprężeń głównych ma zasadnicze znaczenie na przykład przy projektowaniu elementów i konstrukcji żelbetowych, przy projektowaniu których zbrojenie rozmieszcza się zgodnie z kierunkami maksymalnych naprężeń rozciągających.

Zapis tensorowy

Naprężenie dla danej powierzchni przekroju może być opisane przez tensor naprężenia $\sigma$ reprezentowany przez macierz zawierającą składowe stanu naprężenia, której elementy przekształcają się wraz z przyjętym układem współrzędnych (np. jego obrotem).

Biorąc pod uwagę równowagę elementarnego sześcianu i zakładając, że nie występują naprężenia momentowe (dla których uogólnioną teorię sformułowali bracia Cosserat, 1909), dowodzi się, że tensor naprężenia jest symetryczny, to jest: $\sigma _{ij}=\sigma _{ji}.$

Wykorzystując poczynione wcześniej założenia, dla układu kartezjańskiego można zapisać:

$\sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}\quad {}$ lub

$\sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}},$

gdzie:

$\sigma _{x},\ \sigma _{y},\ \sigma _{z}$ – naprężenia normalne,

$\tau _{xy},\ \tau _{xz},\ \tau _{yz}$ – naprężenia ścinające (styczne).

Stany podstawowe

Każdy stan naprężenia można zawsze rozłożyć na dwa stany podstawowe:

Aksjator (tensor kulisty) – stan hydrostatyczny (aksjacyjny) – wywołuje tylko zmianę objętości (gęstości) ciała.

Dewiator – stan czystego ścinania (dewiacyjny) – wywołuje tylko zmianę postaci ciała: sześcian zmienia się w dwuskośny równoległościan bez zmian długości krawędzi.

${\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}=\underbrace {\begin{bmatrix}\sigma _{0}&0&0\\0&\sigma _{0}&0\\0&0&\sigma _{0}\end{bmatrix}} _{\text{aksjator}}$ ${}+\underbrace {\begin{bmatrix}\sigma _{11}-\sigma _{0}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\sigma _{0}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}-\sigma _{0}\end{bmatrix}} _{\text{dewiator}},$

gdzie:

$\sigma _{0}={\frac {\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}}{3}}.$

Niezmienniki stanu naprężenia

Tensor naprężenia, jak każdy tensor drugiego rzędu, ma trzy niezmienniki, czyli wielkości niezależne od układu współrzędnych

$I_{1}=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}=\operatorname {const} ,$

$I_{2}=\sigma _{1}\cdot \sigma _{2}+\sigma _{2}\cdot \sigma _{3}+\sigma _{3}\cdot \sigma _{1}=\operatorname {const} ,$

$I_{3}=\sigma _{1}\cdot \sigma _{2}\cdot \sigma _{3}=\operatorname {const} ,$

w których przez $\sigma _{1},\;\sigma _{2},\;\sigma _{3}$ oznaczono naprężenia główne w rozważanym punkcie ciała.

Zobacz też

• naprężenie w geologii
• odkształcenie
• prawo Hooke’a
• Występowanie tekstu „naprężenie” w tytułach artykułów i w przekierowaniach
• Artykuły i przekierowania do artykułów zaczynające się od „naprężenie”

Linki zewnętrzne

• Fale naprężenia na linii – Applet (Spannungswellen auf einer Leitung – Applet – GER)