-analog – twierdzenie bądź tożsamość zawierająca zmienną które dają dobrze znany wynik przy wzięciu granicy przy (w większości sytuacji wewnątrz zespolonego koła jednostkowego). Najwcześniejszym szczegółowo studiowanym -analogiem był podstawowy szereg hipergeometryczny wprowadzony w XIX wieku.

-analogi znajdują zastosowanie w wielu działach, w tym studiach nad fraktalami, czy miarami wielofraktalnymi (ang. multi-fractal measure) i wyrażeniami entropii chaotycznych systemów dynamicznych. Związek z fraktalami i systemami dynamicznymi wynika z faktu, iż większość schematów fraktalnych ma w ogólności symetrie grup Fuchsa (zob. przykładowo Indra's Pearls i sieć Apoloniusza), a w szczególności – grup modularnych. Związek łączy geometrię hiperboliczną i teorię ergodyczną, gdzie całki eliptyczne i formy modularne grają główną rolę; już same -szeregi są blisko związane z całkami eliptycznymi.

-analogi pojawiają się również podczas studiowania grup kwantowych oraz w -zdeformowanych superalgebrach. Związek jest tu podobny w tym, iż większość teorii strun wyrażona jest w języku powierzchni Riemanna, co stanowi połączenie z krzywymi eliptycznymi, które mają z kolei związek z -szeregami.

Wstępne przykłady

edytuj

Zauważając, że

 

(nie jest niezbędnym w skończonych wyrażeniach tego typu ograniczenie   do wnętrza okręgu jednostkowego), można zdefiniować  -analog liczby   znany także jako  -nawias lub  -liczba   jako

 

Za jego pomocą można zdefiniować  -analog silni,  -silnię, jako

 

Raz jeszcze zwykłą silnię uzyskuje się przechodząc do granicy przy  

Korzystając z  -silni można przejść do definicji współczynników  -dwumianowych, znanych również jako współczynniki Gaussa, wielomiany Gaussa lub dwumiany Gaussa:

 

q-analogi kombinatoryczne

edytuj

Współczynniki Gaussa zliczają podprzestrzenie skończonej przestrzeni liniowej. Niech   będzie liczbą elementów ciała skończonego (liczba   jest wtedy potęgą liczby pierwszej,   tak więc wykorzystanie litery   jest szczególnie stosowne). Wówczas liczba  -wymiarowych podprzestrzeni  -wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem  -elementowym wynosi

 

Zbiegając z   do   uzyskuje się współczynnik dwumianowy

 

lub innymi słowy liczbę  -elementowych podzbiorów zbioru  -elementowego.

Na tej podstawie skończoną przestrzeń liniową można postrzegać za  -uogólnienie zbioru, a jej podprzestrzenie jako  -uogólnienia jego podzbiorów. Okazał się to owocny punkt widzenia podczas znajdowania nowych, interesujących twierdzeń. Przykładowo istnieją  -analogi twierdzenia Spernera i teorii Ramseya.

q → 1

edytuj

W przeciwieństwie do uzmienniania   i postrzegania  -analogów jako deformacji można rozważać przypadek kombinatoryczny   jako granicę  -analogów przy   (często nie można po prostu przyjąć we wzorach   stąd potrzeba brania granic).

Zobacz też

edytuj

Bibliografia

edytuj

Linki zewnętrzne

edytuj