Otwórz menu główne

Rachunek lambdasystem formalny używany do badania zagadnień związanych z podstawami matematyki jak rekurencja, definiowalność funkcji, obliczalność, podstawy matematyki np. definicja liczb naturalnych, wartości logicznych itd. Rachunek lambda został wprowadzony przez Alonzo Churcha i Stephena Cole’a Kleene’ego w 1930 roku.

Rachunek lambda jest przydatny do badania algorytmów. Wszystkie algorytmy, które dadzą się zapisać w rachunku lambda, dadzą się zaimplementować na maszynie Turinga i odwrotnie.

Istnieje wiele rodzajów rachunku lambda, z czego najprostszym jest rachunek lambda bez typów, stanowiący pierwotną inspirację dla powstania programowania funkcyjnego (Lisp). Rachunek lambda z typami jest podstawą dzisiejszych systemów typów w językach programowania.

Spis treści

Opis nieformalnyEdytuj

W rachunku lambda każde wyrażenie określa funkcję jednoargumentową. Z kolei argumentem tej funkcji jest również funkcja jednoargumentowa, wartością funkcji jest znów funkcja jednoargumentowa. Funkcja jest definiowana anonimowo przez wyrażenie lambda, które opisuje, co funkcja robi ze swoim argumentem.

Funkcja   zwracająca argument powiększony o dwa, którą można by matematycznie zdefiniować jako   w rachunku lambda ma postać   (nazwa parametru formalnego jest dowolna, więc   można zastąpić inną zmienną). Z kolei wartość funkcji w punkcie, np.   ma zapis   Warto wspomnieć o tym, że funkcja jest łączna lewostronnie względem argumentu, tzn.  

Ponieważ wszystko jest funkcją jednoargumentową, możemy zdefiniować zmienną o zadanej wartości – nazwijmy ją   Funkcja   jest oczywiście stała, choć nic nie stoi na przeszkodzie, aby była to dowolna inna funkcja. W rachunku lambda   jest dane wzorem  

Teraz jesteśmy w stanie dokonać klasycznego otrzymania wartości w punkcie lub też lepiej rzecz ujmując, wykonać złożenie funkcji, mianowicie   Niech   będzie dana jak poprzednio, wtedy:   i dalej   a więc otrzymujemy po prostu  

Funkcję dwuargumentową można zdefiniować za pomocą techniki zwanej curryingiem, mianowicie jako funkcję jednoargumentową, której wynikiem jest znowu funkcja jednoargumentowa. Rozpatrzmy funkcję   której zapis w rachunku lambda ma postać   Aby uprościć zapis stosuje się powszechnie konwencję, aby funkcje „curried” zapisywać według wzoru  

Wyrażenia lambdaEdytuj

Niech   będzie nieskończonym, przeliczalnym zbiorem zmiennych. Wyrażenie lambda definiuje się następująco:

  • Jeżeli   to   jest wyrażeniem lambda,
  • Jeżeli   jest wyrażeniem lambda i   to napis   jest wyrażeniem lambda,
  • Jeżeli   oraz   są wyrażeniami lambda, to napis   jest wyrażeniem lambda,
  • Wszystkie wyrażenia lambda można utworzyć korzystając z powyższych reguł.

Zbiór wszystkich wyrażeń lambda oznacza się  

Wyrażenia lambda rozpatruje się najczęściej jako klasy abstrakcji relacji alfa-konwersji.

Zmienne wolneEdytuj

Zbiór zmiennych wolnych definiuje się następująco:

  •  
  •  
  •  

LogikaEdytuj

Użycie wartości liczbowych do oznaczania wartości logicznych może prowadzić do nieścisłości przy operowaniu relacjami na liczbach, dlatego też należy wyraźnie oddzielić logikę od obiektów, na których ona operuje. Z tego powodu oczywistym staje się fakt, że wartości logiczne prawdy i fałszu muszą być elementami skonstruowanymi z wyrażeń tego rachunku.

Wartościami logicznymi nazwiemy funkcje dwuargumentowe, z których jedna zawsze będzie zwracać pierwszy argument, a druga – drugi:

  •   (prawda) to  
  •   (fałsz) to  

Teraz chcąc ukonstytuować operacje logiczne stosujemy nasze ustalone wartości tak, by wyniki tych operacji były zgodne z naszymi oczekiwaniami, mamy:

  •   (negacja) to  
  •   (koniunkcja) to  
  •   (alternatywa) to  

Rozwiniętą implikację „jeśli   to   w przeciwnym razie  ” zapisać można jako   czyli  

PrzykładEdytuj

Obliczmy wartość wyrażenia „prawda i fałsz”, czyli w rachunku lambda

 

czyli „fałsz” zgodnie z oczekiwaniami.

Struktury danychEdytuj

Para   złożona z elementów   i   to   Pierwszy element wyciąga się za pomocą   natomiast drugi przez  

Listy można konstruować następującym sposobem:

  • NIL to  
  • CONS to PARA wartość i lista

Następująca funkcja zwraca   jeśli argumentem jest NIL, oraz   jeśli to CONS:  

Rekurencja w rachunku lambdaEdytuj

Rachunek lambda z pozoru nie ma żadnego mechanizmu, który umożliwiałby rekurencję – nie można odwoływać się w definicji do samej funkcji. A jednak rekurencję można osiągnąć poprzez operator paradoksalny Y.

Paradoks polega na tym że dla każdego F zachodzi:

Y F = F (Y F)

Tak więc np. funkcja negacji nie jest możliwa do zaimplementowania w postaci ogólnej, gdyż:

(Y nie) = nie (Y nie)

Funkcja rekurencyjna musi pobrać siebie samą jako wartość.

Działa to w następujący sposób:

(Y f) n
f (Y f) n
λ f. λ n. ciało_f

gdzie ciało_f może się odwoływać do siebie samej

Np.:

silnia = Y (λ f. λ n. if_then_else (is_zero n) 1 (mult n (f (pred n))))

Zobacz teżEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj