Rozkład Weibulla

Rozkład Weibulla – ciągły rozkład prawdopodobieństwa często stosowany w analizie przeżycia do modelowania sytuacji, gdy prawdopodobieństwo śmierci/awarii zmienia się w czasie.

Rozkład Weibulla (dwuparametrowy)
Parametry	$\lambda >0$ parametr skali (liczba rzeczywista) $k>0$ parametr kształtu (liczba rzeczywista)
Nośnik	$x\in [0;+\infty )$
Gęstość prawdopodobieństwa	$(k/\lambda )(x/\lambda )^{(k-1)}e^{-(x/\lambda )^{k}}$
Dystrybuanta	$1-e^{-(x/\lambda )^{k}}$
Wartość oczekiwana (średnia)	$\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)$
Mediana	$\lambda \ln(2)^{1/k}$
Moda	$\lambda \left({\frac {k-1}{k}}\right)^{\frac {1}{k}}$ dla $k>1$
Wariancja	$\lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}$
Współczynnik skośności	${\frac {\Gamma (1+{\frac {3}{k}})\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}$
Kurtoza	${\tfrac {-6\Gamma _{1}^{4}+12\Gamma _{1}^{2}\Gamma _{2}-3\Gamma _{2}^{2}-4\Gamma _{1}\Gamma _{3}+\Gamma _{4}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{2}}}$
Entropia	$\gamma \left(1\!-\!{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1$
Odkrywca	Waloddi Weibull (1939, 1951)

Może on w zależności od parametrów przypominać zarówno rozkład normalny (dla $k=3{,}4$), jak i rozkład wykładniczy (sprowadza się do niego dla $k=1$).

Parametr $k$ rozkładu określa zachowanie prawdopodobieństwa awarii (śmierci) w czasie:

• dla $k<1$ prawdopodobieństwo awarii (śmierci) maleje z czasem. W przypadku modelowania awarii urządzenia sugeruje to, że egzemplarze mogą posiadać wady fabryczne i powoli wypadają z populacji,
• dla $k=1$ (rozkład wykładniczy) prawdopodobieństwo jest stałe. Sugeruje to, że awarie mają charakter zewnętrznych zdarzeń losowych,
• dla $k=2$ (rozkład Rayleigha) prawdopodobieństwo rośnie liniowo z czasem,
• dla $k>1$ prawdopodobieństwo rośnie z czasem. Sugeruje to zużycie części z upływem czasu jako główną przyczynę awaryjności.

Parametr $\lambda$ można zinterpretować jako czas po którym zginie $1-{\frac {1}{e}}\approx 63{,}2\%$ osobników (porównaj wartość charakterystyczna przeżycia).

Bibliografia

• Rozkład po raz pierwszy wprowadzony w pracy:

Waloddi Weibull. A statistical distribution function of wide applicability. „J. Appl. Mech.-Trans. ASME”. 18(3), s. 293–297, 1951.