Otwórz menu główne
Układ planetarny tworzy układ odosobniony ciał oddziałujących siłami grawitacji. Energia mechaniczna poszczególnych ciał układu nie ulega zmianie, gdyż siły grawitacyjne oddziaływań między ciałami układu są siłami centralnymi.

Siła zachowawcza – siła mająca tę własność, że praca wykonana przez nią przy przemieszczaniu ciała na drodze o początku i końcu zależy tylko od położenia punktów i nie zależy zaś od przebiegu drogi, czyli od toru ruchu[1].

Z definicji wynika, że praca wykonana przez siłę zachowawczą na drodze zamkniętej jest równa zeru. Dlatego np. prędkość planety po okrążeniu Słońca jest taka sama, jak w chwili, gdy poprzednio była w tym samym miejscu, gdyż siły grawitacyjne są zachowawcze[a]. Ponadto energia mechaniczna układu ciał oddziałujących siłą zachowawczą jest w każdej chwili taka sama i nie ulega zmianie z upływem czasu.

Spis treści

Siły zachowawczeEdytuj

Siłami zachowawczymi są wszystkie siły centralne. Np. siłami centralnymi są siły grawitacyjne w klasycznej teorii grawitacji Newtona, siły kulombowskie oddziaływań między ciałami posiadającymi ładunki elektryczne. Także siły sprężystości ciał doskonale sprężystych są siłami centralnymi[2].

Siła niecentralna może być siłą zachowawczą, jeżeli nie zależy od wektora prędkości ciała[3] lub też zależy od wektora prędkości, ale działa prostopadle do niego (jak jest w przypadku siły Lorentza). Siła Lorentza jest zachowawcza, gdyż nie wykonuje pracy, a tym samym nie zmienia energii układu[4].

Siłę, która nie jest zachowawcza, nazywa się siłą niezachowawczą. Siłami niezachowawczymi są np. siła tarcia, siła oporu ruchu powstająca w trakcie przemieszczania się ciała w ośrodku materialnym (np. w powietrzu). Siły te zależą od prędkości ciała i są skierowane przeciwnie do wektora prędkości. Ciało w wyniku tego oddziaływania traci energię mechaniczną[5]. Siłą niezachowawczą jest też siła powstająca w silniku na skutek przemiany energii niemechanicznej (np. chemicznej, cieplnej, jądrowej) w energię mechaniczną. Np. siła napędu pojazdu poruszającego się po poziomej drodze powodująca jego ruch przyspieszony jest siłą niezachowawczą: energia kinetyczna rośnie, a energia potencjalna grawitacji jest stała – rośnie więc całkowita energia układu.

Siły zachowawcze potencjalneEdytuj

Osobny artykuł: Potencjał.
 
Praca w polu sił zachowawczych nie zależy od toru, po jakim przemieszcza się ciało. Pokazano tu dwa spośród wielu możliwych torów prowadzących od A do B.

Jeżeli punkt materialny porusza się w polu sił grawitacyjnych znacznie bardziej masywnego ciała, a pole sił nie zmienia się w czasie, to siła zależy jedynie od położenia ciała względem centrum pola. W takiej sytuacji możliwe jest zdefiniowanie pojęcia energii potencjalnej ciała oraz energii mechanicznej jako sumy energii kinetycznej i potencjalnej ciała. Ponadto tak zdefiniowana energia mechaniczna jest niezmienna, mimo że jej składniki (tj. energia kinetyczna i potencjalna) mogą zmieniać się na skutek ruchu ciała[6].

Wykazanie powyżej wymienionych własności opiera się na wynikach teorii pola. Teoria ta dowodzi, że jeżeli pole sił działające na punkt materialny nie zależy jawnie od czasu[b] ani prędkości tego punktu, a jedynie od jego położenia w przestrzeni   tj.

 

oraz rotacja siły równa się 0 w każdym punkcie pola

 

to można znaleźć pole skalarne   niezależne od czasu, zwane potencjałem pola sił[c] lub energią potencjalną, którego gradient jest równy tej sile (z dokładnością do znaku)[7][8]

 

Wtedy suma energii potencjalnej   i kinetycznej   ciała jest niezależną od czasu energią mechaniczną   punktu materialnego, tj.

 

Niezależność pracy potencjalnych sił zachowawczych od drogiEdytuj

Z istnienia potencjału siły wynika, że praca jaką siła pola   wykonuje przy przemieszczaniu ciała po dowolnej drodze między wybranymi punktami nie zależy od wybory tej drogi, a zależy jedynie od wartości energii potencjalnej w punktach początkowym i końcowym, gdyż[9]

 

Praca na drodze zamkniętejEdytuj

Z powyższej całki wynika, że praca sił pola na drodze o zamienionych punktach początkowym i końcowym będzie miała przeciwny znak. Stąd natychmiast wynika, że praca przy przemieszczaniu ciała w polu sił zachowawczych po torze zamkniętym jest równa zeru. Oznaczając przez   dowolny tor zamknięty, powyższą własność można zapisać w postaci

 

Wyznaczanie potencjału dla siły potencjalnejEdytuj

Aby wyznaczyć energię potencjalną   dla danego pola sił   należy wykonać całkowanie po dowolnej krzywej, łączącej wybrany punkt odniesienia   z punktem  

 

Energia potencjalna jest wyznaczona z dokładnością do stałej addytywnej   Z drugiej strony, wybór punktu   jest dowolny, stąd dla różnych wyborów otrzyma się różne wartości energii potencjalnej. Istotna jest jednak tylko różnica potencjałów między dwoma punktami pola.

Praca w polu sił potencjalnychEdytuj

Możliwość zdefiniowania energii potencjalnej dla danego pola sił pozwala obliczyć pracę potrzebną do przeniesienia ciała z jednego punktu pola w inny. Pozwala to np. planować ilość paliwa potrzebną do wyrzucenia satelity na orbitę lub do odbycia podróży międzyplanetarnej. Ponieważ trzeba przy tym działać siłą   która równoważy siłę pola, to

 

czyli

 

co oznacza, że praca ta jest równa różnicy energii potencjalnych między punktem końcowym a początkowym.

Przykład: praca w polu grawitacyjnymEdytuj

Ze znajomości siły oddziaływań grawitacyjnych można wyprowadzić wzór na energię potencjalną grawitacji ciał w polu grawitacyjnym Ziemi

 

gdzie:

 stała grawitacji,
  – masa ciała,
 masa Ziemi,
  – odległość między środkami Ziemi i ciała.

Praca potrzebna do podniesienia ciała z powierzchni Ziemi (odległość   od środka Ziemi) na odległość   od środka Ziemi jest równa przyrostowi energii potencjalnej

 

Podniesienie ciała na pewną wysokość, nie oznacza, że ciało znajdzie się na orbicie. To wymaga dodatkowo nadania ciału odpowiedniej prędkości transwersalnej, z czym związana jest odpowiednia energia kinetyczna, co wiąże się z dodatkową pracą.

Siły zachowawcze niepotencjalneEdytuj

 
Siła Lorentza jest siłą zachowawczą, choć nie jest siłą potencjalną. Jest to siła wywierana na cząstkę naładowaną przez pole magnetyczne B. Cząstka poruszając się w polu zmienia kierunek swego ruchu, ale nie zmienia prędkości, dlatego energia cząstki jest zachowana. Zwrot siły Lorentza zależy od znaku   ładunku cząstki.

Wszystkie siły, dla których istnieje potencjał niezależny od czasu, są siłami zachowawczymi. Istnieją jednak siły, które nie są siłami potencjalnymi, mimo to są siłami zachowawczymi w tym sensie, że energia całkowita układu poddanego działaniu tych sił nie ulega zmianie. Przykładem może być siła Lorentza działająca na naładowaną cząstkę poruszającą się w polu magnetycznym

 

gdzie:

 wektor siły,
 ładunek elektryczny cząstki,
 pseudowektor indukcji magnetycznej,
  – wektor prędkości cząstki,
 iloczyn wektorowy.

Z powyższego wzoru wynika, że siła Lorentza działa zawsze prostopadle do wektora prędkości cząstki, nie wykonuje więc pracy, a tym samym nie zmienia energii cząstki. Podobnie jak dla innych sił zachowawczych także praca siły Lorentza nie zależy od drogi, jaką pokonuje cząstka między dwoma punktami – w tym wypadku praca ta zawsze jest równa zeru[10][11].

Trzeba zaznaczyć, że niektórzy autorzy nie definiują sił niepotencjalnych o powyższych własnościach jako siły zachowawcze, zawężając pojęcie sił zachowawczych jedynie do sił potencjalnych niezależnych od czasu[12].

Siły zachowawcze układu ciałEdytuj

Pojęcie potencjału (energii potencjalnej) oraz sił zachowawczych można wprowadzić nie tylko w odniesieniu do pojedynczego ciała (jak to było omawiane powyżej), ale także w odniesieniu do układu złożonego z wielu ciał, które oddziałują ze sobą i z otoczeniem[13].

Rozważmy układ   swobodnych punktów materialnych, których położenia dane są przez wektory   w przestrzeni fizycznej   niech   oznacza siłę wypadkową, jaka działa na  -te ciało, pochodzącą od innych ciał układu oraz od ciał otoczenia.

Jeżeli dla sił   istnieje (jednoznaczna) funkcja w ogólności zależna od czasu   taka że

 

to mówi się, że siły działające na układ punktów materialnych są potencjalne, zaś funkcję   nazywa się potencjałem sił   W układzie współrzędnych kartezjańskich wektory wodzące ciał można przedstawić w jako   i powyższy wzór przyjmuje postać[14]

 

Jeżeli ponadto potencjał nie zależy jawnie od czasu:   to potencjał nazywany jest energią potencjalną układu punktów materialnych w położeniach   w polu sił, a siły   są zachowawcze[15].

Siły potencjalne niezachowawczeEdytuj

Siłami potencjalnymi nazywa się w ogólności siły, dla których istnieje funkcja skalarna (zwana potencjałem), taka że jej gradient jest równy danej sile. Okazuje się, że oprócz sił potencjalnych niezależnych od czasu (por. wyżej) istnieją siły potencjalne zależne od czasu[6]

 

Siły te nie są jednak siłami zachowawczymi: działając na ciała zmieniają ich energię całkowitą[6].

Przykład: Cząstka naładowana w zmiennym polu elektrycznymEdytuj

Niech cząstka o ładunku   znajduje się w zmiennym polu elektrycznym, takim że działa na nią siła[16]

 

gdzie:

  – wektor natężenia pola elektrycznego w chwili początkowej,
  – częstotliwość kołowa zmian pola.

Obierając oś   układu współrzędnych kartezjańskich wzdłuż wektora   można obliczyć potencjał

 

Pole sił   posiada więc potencjał, ale nie jest zachowawcze, gdyż pochodna potencjału względem czasu nie zeruje się

 

Cząstka w takim polu sił ma zmienną w czasie energię. Niezależność sił potencjalnych od czasu jest więc istotna, aby siły były zachowawcze.

Siły zachowawcze a niezachowawczeEdytuj

Podział sił na siły zachowawcze i niezachowawcze wynika z przyjętego poziomu dokładności opisu zjawisk. Oddziaływania zachodzące na najbardziej podstawowym poziomie, tj. między cząstkami elementarnymi, zawsze spełniają zasady zachowania, w tym zasadę zachowania energii, zawsze więc są oddziaływaniami zachowawczymi. Na tym poziomie opisu nie ma sił niezachowawczych[17].

Jednak dla przykładu tarcie jest traktowane w mechanice klasycznej jako oddziaływanie niezachowawcze. Jest tak dlatego, że nie uwzględnia się energii wewnętrznej ciał (tj. energii ruchów chaotycznych cząsteczek, tworzących ciała oraz energii ich wzajemnych oddziaływań). Korzyścią z takiego ujęcia jest możliwość pominięcia opisu ruchu miliardów cząsteczek, tworzących ciała makroskopowe. Mechanika klasyczna nie uwzględnia także wielu innych rodzajów energii, jakie mogą pojawiać się w oddziaływaniach, np. energii chemicznej, jądrowej, elektromagnetycznej. Dlatego tylko niektóre siły wprowadzane w mechanice klasycznej są zachowawcze.

Zawsze jednak można wprowadzić opis dokładniejszy. W opisie ruchów układów mechanicznych podział na siły zachowawcze i niezachowawcze jest więc sprawą wyboru i nie jest jednoznaczny[18].

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Pomijając oddziaływanie z innymi planetami oraz rozpraszanie energii wywołane ruchami pływowymi.
  2. Pole zależy niejawnie od czasu praktycznie zawsze - ciało poruszając się oddziałuje lokalnie z polem, tj. z polem w położeniach, które ciało zajmuje w kolejnych chwilach czasu. Zapis   oznacza, że pole zależy niejawnie od czasu.
  3. Pojęcie potencjału znane z kursu fizyki w szkole średniej odnosi się do natężenia pola grawitacyjnego czy elektrycznego. Tu wprowadzone pojęcie potencjału jest ogólniejsze, bo dotyczy dowolnego pola wektorowego.

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj