Następnik liczby porządkowej

Następnik liczby porządkowej – najmniejsza liczba porządkowa większa niż $\alpha .$ Liczbę, która jest następnikiem pewnej liczby porządkowej, nazywa się liczbą następnikową. Każda liczba porządkowa różna od $0$ jest albo liczbą następnikową, albo graniczną liczbą porządkową.

Używając liczb porządkowych von Neumanna (standardowego modelu używanego obecnie w teorii mnogości), następnikiem liczby porządkowej $\alpha$ jest $S(\alpha )$ dana wzorem:

$S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}.$

Zastosowanie

Następnik liczby porządkowej jest podstawową operacją przeprowadzaną na liczbach porządkowych. Najbardziej znanym jej zastosowaniem jest konstrukcja zbiorów induktywnych, np. zbioru liczb naturalnych w konstrukcji von Neumanna.

Używając operacji następnika, można zdefiniować arytmetykę liczb porządkowych, na przykład dodawanie, przez indukcję pozaskończoną:

$\alpha +0=\alpha ,$

$\alpha +S(\beta )=S(\alpha +\beta )$

i dla granicznej liczby porządkowej λ

$\alpha +\lambda =\bigcup _{\beta <\lambda }(\alpha +\beta ).$

W szczególności, $S(\alpha )=\alpha +1.$ Podobnie definiuje się mnożenie i potęgowanie.

Punkty następnikowe i zero są punktami skupienia klasy liczb porządkowych, w odniesieniu do topologii porządkowej.

Uwaga:

Nie każda liczba porządkowa jest następnikowa. Liczby niemające tej własności nazywamy granicznymi liczbami porządkowymi (nie mylić z granicznymi liczbami kardynalnymi).

Własności

• Nie istnieje żadna liczba porządkowa pomiędzy $\alpha$ i $S(\alpha ),$

$\alpha <S(\alpha ).$

• Jeśli $\alpha \in S(\alpha ),$ to $\alpha \subset S(\alpha )$ (zob. zbiór przechodni).

Przykłady

• $S(\varnothing )=\{\varnothing \}$ (tu: $\varnothing =0$)
• $S\left(\{\varnothing \}\right)=\left\{\varnothing ,\{\varnothing \}\right\},$
• $S\left(\left\{\varnothing ,\{\varnothing \}\right\}\right)=\left\{\varnothing ,\{\varnothing \},\left\{\varnothing ,\{\varnothing \}\right\}\right\}.$

Zobacz też

• aksjomaty i konstrukcje liczb
• arytmetyka liczb porządkowych
• liczba epsilonowa
• paradoks Buralego-Fortiego
• zbiór potęgowy

Bibliografia

• Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria Mnogości. Warszawa: PWN, 2007.brak strony w książce
• Wacław Sierpiński: Cardinal and ordinal numbers. Wyd. drugie poprawione. Warszawa: PWN, 1965.brak strony w książce