Wielomian charakterystyczny

Wielomian charakterystyczny – wielomian zawierający informacje o niektórych własnościach macierzy kwadratowej, w szczególności jej wartościach własnych, wyznaczniku i śladzie.

Motywacja

Zbiór wartości własnych macierzy możemy zakodować, tworząc wielomian, którego pierwiastki są tymi wartościami. Dla macierzy diagonalnej jest to łatwe do wyliczenia: jeśli na głównej przekątnej leżą wartości $a,b,c,$ to wielomian charakterystyczny ma postać:

$(t-a)(t-b)(t-c)\dots$

(z dokładnością do znaku). Wynika to z faktu, że wartości na przekątnej są tu wartościami własnymi tej macierzy.

Dla dowolnej macierzy $\mathbf {A}$ sytuacja wygląda następująco: jeśli $\lambda$ jest wartością własną $\mathbf {A} ,$ to istnieje wektor własny $\mathbf {v\neq 0} ,$ taki że

$\mathbf {A} \mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,$

czyli

$(\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} )\mathbf {v} =0$

(gdzie $\mathbf {I}$ jest macierzą jednostkową). Ponieważ $\mathbf {v}$ jest niezerowy, oznacza to, że macierz $\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A}$ jest macierzą osobliwą (jej wyznacznik jest równy 0). Tym samym pierwiastki wielomianu $\det(\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} )$ są wartościami własnymi $\mathbf {A} .$

Definicja

Niech $A\in M_{n}(\mathbb {K} ),$ gdzie $K$ jest pewnym ciałem (np. ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych).

Wielomian charakterystyczny $p_{A}(t)$ macierzy kwadratowej $\mathbf {A}$ definiuje się jako:

$p_{A}(t)=\det(t\mathbf {I} -\mathbf {A} ).$

Przykład

Dla obliczenia wielomianu charakterystycznego macierzy $\mathbf {A} {:}$

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}}$

należy obliczyć wyznacznik macierzy

$t\mathbf {I} -\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}t-2&-1\\1&t\end{pmatrix}}$

Ma on postać

$(t-2)t-1(-1)=t^{2}-2t+1.$

Własności

Stopień wielomianu charakterystycznego macierzy $n\times n$ jest równy $n.$ Wyraz wolny tego wielomianu $p_{A}(0)$ jest równy $(-1)^{n}\cdot \det(\mathbf {A} ),$ współczynnik przy $t^{n-1}$ jest równy $-\operatorname {tr} (\mathbf {A} )$ (gdzie tr oznacza ślad macierzy).

Dla macierzy $2\times 2$ zachodzi zatem:

$p_{A}(t)=t^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {A} )t+\det(\mathbf {A} ).$

Każdy wielomian rzeczywisty nieparzystego stopnia ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty, co oznacza że każda macierz stopnia nieparzystego ma co najmniej jedną rzeczywistą wartość własną.

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że podstawiając jako argument wielomianu charakterystycznego $\mathbf {A}$ samą macierz $\mathbf {A} ,$ otrzyma się macierz zerową: $p_{A}(\mathbf {A} )=0.$ A zatem każda macierz spełnia swoje równanie charakterystyczne. W konsekwencji, wielomian minimalny macierzy $\mathbf {A}$ musi dzielić jej wielomian charakterystyczny.

Macierze podobne mają te same wielomiany charakterystyczne. Zależność ta nie działa jednak w drugą stronę – macierze o identycznych wielomianach charakterystycznych nie muszą być podobne.

Macierz $\mathbf {A}$ jest podobna do macierzy trójkątnej wtedy i tylko wtedy, gdy jej wielomian charakterystyczny da się rozłożyć na czynniki liniowe nad $K.$

Zobacz też

• wielomian charakterystyczny układu

Linki zewnętrzne

• Characteristic polynomial (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].