Operator unitarny

Operator unitarny – operator normalny, którego złożenie z jego operatorem sprzężonym jest identycznością.

Definicja formalna

Niech $H$ będzie zespoloną przestrzenią Hilberta. Liniowy i ciągły operator $T\colon H\to H$ nazywamy unitarnym wtedy i tylko wtedy, gdy $TT^{\star }=T^{\star }T=I.$

Warunki równoważne

Jeżeli $T\colon H\to H$ jest ciągłym operatorem liniowym, to następujące dwa warunki są równoważne temu, że $T$ jest unitarny:

1. ${\mbox{cl}}T(H)=H,$
2. $(Tx|Ty)=(x|y),\;x,y\in H.$

Widmo operatora unitarnego zawiera się w okręgu jednostkowym.

Przykłady

• Jeśli $H$ jest zespoloną przestrzenią Hilberta, to identyczność ${\mbox{id}}(x)=x,\;x\in H$ jest operatorem unitarnym.
• Jeśli $H=\mathbb {C}$ to mnożenie przez ustalony skalar $\lambda \in \mathbb {C}$ taki, że $|\lambda |=1$ jest operatorem unitarnym.
• W skończenie wymiarowej zespolonej przestrzeni Hilberta, przekształcenie liniowe reprezentowane przez macierz unitarną jest operatorem unitarnym.
• Transformacja Fouriera.
• Transformacja parzystości P.