Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przestrzeń zdarzeń elementarnych (zbiór zdarzeń elementarnych, przestrzeń próbek losowych) – zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego; wyniki te nazywa się zdarzeniami elementarnymi.

Pojęcie zbioru zdarzeń elementarnych należy do podstawowych w rachunku prawdopodobieństwa. Tradycyjnie zbiór ten oznacza się literą $\Omega .$

Zbiór zdarzeń elementarnych stanowi jeden z trzech elementów modelu probabilistycznego opisującego dane doświadczenie losowe. Pozostałymi elementami są: zbiór zdarzeń losowych ${\mathcal {F}}$ (tj. mierzalnych podzbiorów $\Omega ,$ które tworzą tzw. σ-ciało) oraz miara probabilistyczna $P$ (prawdopodobieństwo) przypisana do każdego zdarzenia losowego.

Zbiór zdarzeń elementarnych $\Omega$ uzupełniony o σ-ciało ${\mathcal {F}}$ tworzy parę $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ zwaną przestrzenią mierzalną. Przestrzeń mierzalna $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ uzupełniona o miarę probabilistyczną tworzy trójkę $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ zwaną przestrzenią probabilistyczną.

Pomiędzy zdarzeniami elementarnymi a zdarzeniami losowymi istnieje istotna różnica: pierwsze są pojedynczymi elementami $\omega _{i}$ zbioru zdarzeń elementarnych (czyli $\omega _{i}\in \Omega$), natomiast drugie są podzbiorami zbioru zdarzeń elementarnych – mogą więc zawierać wiele zdarzeń elementarnych, np. zdarzenie $A=\{\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\}\subseteq \Omega .$

Przykłady

• Rzut jedną monetą: zbiorem zdarzeń elementarnych jest zbiór $\Omega$ = {Orzeł, Reszka}, przy czym zdarzeniami elementarnymi są Orzeł oraz Reszka.
• Rzut dwiema monetami: zbiór zdarzeń elementarnych ma postać par uporządkowanych $\Omega$ = {(O, O), (O, R), (R, O), (R,R)}, gdzie oznaczono: O = orzeł oraz R = reszka (na 1. miejscu notujemy wyniki rzutu 1. monetą, a na 2. miejscu wyniki rzutu 2. monetą).
• Rzut n monet: zbiór zdarzeń elementarnych tworzą n-ki uporządkowane, w których poszczególne elementy mogą przyjmować wartości O lub R.
• Rzut pojedynczą kostką: zbiór zdarzeń elementarnych tworzą liczby oczek, jakie można otrzymać w pojedynczym rzucie, tj. $\Omega ^{1}=\{1,2,3,4,5,6\}.$
• Rzut dwiema kostkami: zbiór zdarzeń elementarnych tworzą pary liczb oczek, jakie można otrzymać w pojedynczym rzucie na każdej z kostek, tj. $\Omega ^{2}=\{(1,1),(1,2),\dots ,(1,6),(2,1),(2,2),\dots ,(6,6)\}.$ Zbiór zdarzeń elementarnych jest więc iloczynem kartezjańskim zbioru $\Omega ^{1},$ tj. $\Omega ^{2}=\Omega ^{1}\times \Omega ^{1}.$

Zobacz też

• przestrzeń mierzalna
• przestrzeń probabilistyczna

Bibliografia

• W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. T. 1.: Rachunek prawdopodobieństwa. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999, s. 7. ISBN 83-01-05928-1.