Kula wpisana

Kula wpisana w wielościankula, która mieści się cała w danym wielościanie i której powierzchnia dotyka wszystkich ścian wielościanu. O takim wielościanie można powiedzieć, że jest opisany na kuli[1][2].

Czworościan foremny wraz z kulą wpisaną (czerwoną), opisaną (niebieską) oraz pośrednią (zieloną)

Powierzchnia kuli, a bardziej formalnie – jej brzeg, nazywana jest sferą. W definicji można zastąpić kulę pojęciem sfery nie zmieniając żywotnie jej sensu. Dlatego obok kuli wpisanej w wielościan, mówi się równoważnie o sferze wpisanej w wielościan (analogicznie do koła/okręgu wpisanego w wielokąt).

Twierdzenie mówiące, że jeżeli w wielościan można wpisać kulę, wszystkie odcinki łączące wierzchołek wielościanu z punktami styczności kuli do sąsiadujących ścian są równej długości, bywa określane jako „najmocniejsze twierdzenie stereometrii[3]. Znane jest też twierdzenie, że objętość takiego wielościanu jest równa jednej trzeciej iloczynu sumy pól ścian i promienia kuli wpisanej[4].

Nie każdy wielościan można opisać na kuli. Można tego jednak dokonać między innymi dla każdego wielościanu foremnego, a także każdego wielościanu Catalana[5]. Kulę wpisaną można zdefiniować także dla niektórych innych brył, jak chociażby stożek, stożek ścięty czy walec[6]. Archimedes wykazał, że objętość kuli wpisanej w walec kołowy prosty (o wysokości równej średnicy podstawy) do którego wpisany jest także stożek (określający szerokość walca) są w stosunku objętości 1:2:3 (odpowiednio kula, stożek, walec)[7], a jego rozumowanie zostało sformalizowane i uogólnione w XVIII wieku, dając początek zasadzie Cavalieriego[8]. Według relacji Plutarcha szkic tego odkrycia znalazł się na grobie Archimedesa, zgodnie z wyrażonym przez uczonego życzeniem[9]. Oprócz kuli wpisanej można również zdefiniować kulę opisaną oraz kulę pośrednią[10].

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Kula, math.edu.pl [dostęp 2021-02-17].
  2. Bryły opisane na kuli. eSzkola.pl. [dostęp 2021-02-18].
  3. Najmocniejsze twierdzenie stereometrii, DeltaMi [dostęp 2021-02-17] (pol.).
  4. Tom M. Apostol, Mamikon A. Mnatsakanian, Solids Circumscribing Spheres, „The American Mathematical Monthly”, 113 (6), 2006, s. 521–540, DOI10.2307/27641977, ISSN 0002-9890, JSTOR27641977 [dostęp 2021-02-17].
  5. Eric W. Weisstein, Insphere, mathworld.wolfram.com [dostęp 2021-02-17] (ang.).
  6. Kula Wpisana, EduPedia.pl [dostęp 2021-02-17].
  7. Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003, s. 22-25. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.
  8. Paulina Pawlik, Ewa Rzepka, Zasada Cavalieriego i jej zastosowania, Iwona Sitnik-Szumiec (red.), Kraków.
  9. Grób Archimedesa, www.rp.pl [dostęp 2021-02-17] (pol.).
  10. Tadeusz E. Doroziński: Bryły platońskie nieco inaczej. Matematyka Inaczej. [dostęp 2021-02-17].