Statystyka (funkcja)

(Przekierowano z Miara statystyczna)

Statystyka, statystyka z próby to – w najprostszym ujęciu – liczbowa charakterystyka próby losowej[1]. Ponieważ próba jest losowa, statystyka, jako funkcja próby, jest zmienną losową[2]. Przykładami statystyk są: średnia z próby, odchylenie standardowe i wariancja z próby, a także statystyki testowe, takie jak statystyka t lub statystyka chi-kwadrat.

Statystyki są często estymatorami parametrów rozkładu zmiennej losowej w populacji generalnej.

Definicja formalna edytuj

Niech   będzie przestrzenią statystyczną, gdzie

 

jest rodziną miar probabilistycznych określonych na σ-ciele   podzbiorów zbioru   indeksowaną parametrem   Niech dalej   będzie przestrzenią mierzalną. Funkcję mierzalną   nazywamy statystyką. Zbiór   jest nazywany przestrzenią prób.

Własności edytuj

  • Jeśli   to statystykę   nazywamy statystyką o wartościach rzeczywistych.
  • Jeśli   to statystykę   nazywamy statystyką o wartościach wektorowych.

Statystyka swobodna edytuj

Statystyka   jest statystyką swobodną ze względu na wartość oczekiwaną, gdy   istnieje i nie zależy od   Wspólną dla   wartość oczekiwaną oznaczamy   i nazywamy wartością oczekiwaną statystyki  

Statystyka dostateczna edytuj

Definicja i własności edytuj

σ-ciało dostateczne

σ-podciało   σ-ciała   jest dostateczne, gdy dla każdego   istnieje wersja prawdopodobieństwa warunkowego   taka sama dla wszystkich miar z rodziny  

Statystyka dostateczna

Statystykę   nazywamy dostateczną, jeżeli σ-podciało   jest dostateczne.

Twierdzenie

Niech statystyka   będzie statystyką o wartościach wektorowych.   jest statystyką dostateczną dla rodziny   lub dla   jeżeli dla każdej wartości   rozkład warunkowy   nie zależy od  

Przypadek ogólny opisuje poniższe twierdzenie (zwane twierdzeniem o faktoryzacji lub twierdzeniem Neymana):

Twierdzenie

Niech   będzie przestrzenią statystyczną dominowaną. Statystyka   jest dostateczna wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje gęstości   dają się przedstawić w postaci:

 

gdzie:

  jest funkcją  -mierzalną,
funkcje   -mierzalne.

Minimalna statystyka dostateczna edytuj

Statystykę dostateczną   nazywamy minimalną statystyką dostateczną, jeżeli dla każdej statystyki dostatecznej   istnieje funkcja   taka, że  

Zobacz też edytuj

Przypisy edytuj

  1. Amir D. Aczel i inni, Statystyka w zarządzaniu, Wydanie 2, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2018, ISBN 978-83-01-19510-6 [dostęp 2023-12-19].
  2. J.R. Barra, Matematyczne podstawy statystyki, s. 11–12.

Bibliografia edytuj