Grupa z operatorami

Grupa z operatorami lub $\Omega$ -grupa – struktura algebraiczna będąca grupą wraz ze zbiorem endomorfizmów grupowych.

Grupy z operatorami były studiowane dogłębnie przez Emmy Noether i jej szkołę w latach 20. XX wieku. Użyła ona tego pojęcia w jej oryginalnym sformułowaniu trzech twierdzeń o izomorfizmie.

Definicja

Grupa z operatorami $(G,\Omega )$ to grupa $G$ z rodziną funkcji $\Omega {:}$

\omega \colon G\to G,\quad \omega \in \Omega ,

które są rozdzielne względem działania grupowego. $\Omega$ nazywana jest dziedziną operatorów, a jego elementy nazywane są homotetiami $G.$

Obraz elementu $g$ grupy przy funkcji $\omega$ oznacza się $g^{\omega }.$ Rozdzielność może być wtedy wyrażona jako

\forall _{\omega \in \Omega }\;\forall _{g,h\in G}\;(gh)^{\omega }=g^{\omega }h^{\omega }.

Podgrupa $S$ grupy $G$ nazywana jest podgrupą stabilną, $\omega$ -podgrupą lub podgrupą $\Omega$ -niezmienniczą, o ile zachowuje homotetie, tj.

\forall _{s\in S}\;\forall _{\omega \in \Omega }\;s^{\omega }\in S.

Uwagi teoriokategoryjne

W teorii kategorii grupa z operatorami może być zdefiniowana jako obiekt kategorii funktorów $\mathbf {Grp_{M}} ,$ gdzie $\mathbf {M}$ jest monoidem (tzn. kategorią z jednym obiektem), a $\mathbf {Grp}$ oznacza kategorię grup. Ta definicja jest równoważna poprzedniej.

Grupa z operatorami jest także odwzorowaniem

\Omega \to \operatorname {End} _{\mathbf {Grp} }(G),

gdzie $\operatorname {End} _{\mathbf {Grp} }(G)$ jest zbiorem endomorfizmów grupowych $G.$

Przykłady

Dla danej grupy $G$ struktura $(G,\varnothing )$ jest w sposób trywialny grupą z operatorami,
Dla danego $R$ -modułu $M$ grupa $R$ działa na dziedzinie operatorów $M$ przez mnożenie przez skalar. Dokładniej: każda przestrzeń liniowa jest grupą z operatorami.

Zobacz też

działanie grupy

Bibliografia

Bourbaki, Nicolas: Elements of Mathematics: Algebra I Chapters 1-3. Springer-Verlag, 1998. ISBN 3-540-64243-9.