Bryła obrotowa

Bryła obrotowa – bryła geometryczna ograniczona powierzchnią powstałą z obrotu figury płaskiej dookoła prostej (osi obrotu). Do brył obrotowych zaliczane są m.in.:

• walec kołowy prosty,
• stożek,
• kula,
• torus,
• beczka,
• elipsoida obrotowa,
• paraboloida obrotowa,
• hiperboloida obrotowa.

Objętość i pole powierzchni bryły obrotowej

Wykres funkcji zmiennej x

Bryła powstała wskutek obrotu obszaru pod wykresem funkcji $f(x)$ wokół osi OX

Objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót wykresu funkcji $y=f(x),$ gdzie $x\in \langle a,b\rangle ,$ dookoła osi OX.

$V=\pi \int \limits _{a}^{b}[f(x)]^{2}\,dx$

Pole powierzchni powstałej przez obrót wykresu funkcji $y=f(x),$ gdzie $x\in \langle a,b\rangle ,$ dookoła osi OX.

$S=2\pi \int \limits _{a}^{b}|f(x)|{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx$

Objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót wykresu funkcji $y=f(x),$ gdzie $x\in \langle a,b\rangle ,\,a\geqslant 0,$ dookoła osi OY.

$V=2\pi \int \limits _{a}^{b}xf(x)\,dx$

Pole powierzchni powstałej przez obrót wykresu funkcji $y=f(x),$ gdzie $x\in \langle a,b\rangle ,\,a\geqslant 0,$ dookoła osi OY.

$S=2\pi \int \limits _{a}^{b}x{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx$

Krzywa w postaci parametrycznej

$x=x(t),\ y=y(t);\ t\in \langle \alpha ,\,\beta \rangle$

Objętość bryły powstałej przez obrót krzywej wokół osi OX.

$V=\pi \int \limits _{\alpha }^{\beta }\left|x'(t)\right|y^{2}(t)\,dt$

Pole powierzchni powstałej przez obrót krzywej wokół osi OX.

$S=2\pi \int \limits _{\alpha }^{\beta }y(t){\sqrt {[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}}\,dt$

Objętość bryły powstałej przez obrót krzywej wokół osi OY.

$V=2\pi \int \limits _{\alpha }^{\beta }x'(t)x(t)y(t)\,dt$

Pole powierzchni powstałej przez obrót krzywej wokół osi OY.

$S=2\pi \int \limits _{\alpha }^{\beta }x(t){\sqrt {[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}}\,dt$

W wielu przypadkach obliczanie objętości bryły obrotowej lub pola jej powierzchni ułatwiają twierdzenia Pappusa.