Twierdzenie Leibniza albo Leibniza o różniczkowaniu pod znakiem całki zwane często regułą Leibniza – twierdzenie mówiące o różniczkowaniu funkcji danej jako całka z parametrem.
Reguła Leibniza
edytuj
Wersja I – analiza klasyczna
edytuj
Niech
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
f
:
[
a
,
b
]
×
[
c
,
d
]
∋
(
x
,
y
)
↦
R
{\displaystyle f\colon [a,b]\times [c,d]\ni (x,y)\mapsto \mathbb {R} }
f
{\displaystyle f}
funkcją ciągła oraz że ma ona ciągłą pochodną cząstkową
f
y
′
=
∂
f
∂
y
{\displaystyle f'_{y}={\frac {\partial f}{\partial y}}}
Dla
y
∈
(
c
,
d
)
{\displaystyle y\in (c,d)}
I
(
y
)
=
∫
a
b
f
(
x
,
y
)
d
x
.
{\displaystyle I(y)=\int \limits _{a}^{b}f(x,y)\mathrm {d} x.}
I
(
y
)
{\displaystyle I(y)}
różniczkowalna oraz dla każdego
y
∈
(
c
,
d
)
{\displaystyle y\in (c,d)}
I
′
(
y
)
=
∫
a
b
f
y
′
(
x
,
y
)
d
x
.
{\displaystyle I'(y)=\int \limits _{a}^{b}f'_{y}(x,y)\mathrm {d} x.}
Ogólniej, zakładając że dla każdego
y
{\displaystyle y}
[
a
(
x
)
,
b
(
x
)
]
,
{\displaystyle [a(x),b(x)],}
a
,
b
{\displaystyle a,b}
d
d
y
∫
a
(
y
)
b
(
y
)
f
(
x
,
y
)
d
x
=
∫
a
(
y
)
b
(
y
)
f
y
′
(
x
,
y
)
d
x
+
f
(
b
(
y
)
,
y
)
b
′
(
y
)
−
f
(
a
(
y
)
,
y
)
a
′
(
y
)
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\int \limits _{a(y)}^{b(y)}\,f(x,y)\mathrm {d} x=\int \limits _{a(y)}^{b(y)}f'_{y}(x,y)\mathrm {d} x+f(b(y),y)b'(y)-f(a(y),y)a'(y).}
Wersja II – teoria miary
edytuj
Niech
X
{\displaystyle X}
R
,
{\displaystyle \mathbb {R} ,}
(
Ω
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )}
przestrzenią mierzalną . Załóżmy, że
f
:
X
×
Ω
↦
R
{\displaystyle f\colon X\times \Omega \mapsto \mathbb {R} }
(1)
f
(
x
,
ω
)
{\displaystyle f(x,\omega )}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
ω
.
{\displaystyle \omega .}
(2) Dla każdego
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
f
x
{\displaystyle f_{x}}
μ
{\displaystyle \mu }
-p.w.
(3) Istnieje całkowalna funkcja
θ
:
Ω
↦
R
{\displaystyle \theta \colon \Omega \mapsto \mathbb {R} }
|
f
x
(
x
,
ω
)
|
⩽
θ
(
ω
)
∀
x
∈
X
.
{\displaystyle |f_{x}(x,\omega )|\leqslant \theta (\omega )\quad \forall x\in X.}
Wtedy dla każdego
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
d
d
x
∫
Ω
f
(
x
,
ω
)
μ
{
d
ω
}
=
∫
Ω
f
x
(
x
,
ω
)
μ
{
d
ω
}
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{\Omega }\,f(x,\omega )\mu \{\mathrm {d} \omega \}=\int _{\Omega }\,f_{x}(x,\omega )\mu \{\mathrm {d} \omega \}.}
Zauważmy, że iloraz różnicowy funkcji I dany jest przez
I
(
y
+
h
)
−
I
(
y
)
h
=
∫
a
b
f
(
x
,
y
+
h
)
d
x
−
∫
a
b
f
(
x
,
y
)
d
x
h
=
∫
a
b
f
(
x
,
y
+
h
)
−
f
(
x
,
y
)
h
d
x
,
{\displaystyle {\frac {I(y+h)-I(y)}{h}}={\frac {\int _{a}^{b}f(x,y+h)\,dx-\int _{a}^{b}f(x,y)\,dx}{h}}=\int _{a}^{b}{\frac {f(x,y+h)-f(x,y)}{h}}\,dx,}
(pamiętajmy, że całka jest operatorem liniowym). Teraz,
I
′
(
y
)
=
lim
h
→
0
I
(
y
+
h
)
−
I
(
y
)
h
=
lim
h
→
0
∫
a
b
f
(
x
,
y
+
h
)
−
f
(
x
,
y
)
h
d
x
.
{\displaystyle I'(y)=\lim _{h\to 0}{\frac {I(y+h)-I(y)}{h}}=\lim _{h\to 0}\int _{a}^{b}{\frac {f(x,y+h)-f(x,y)}{h}}\,dx.}
W związku z powyższym pozostaje kwestia, czy możemy przejść z granicą pod całkę.
Zauważmy, że funkcja określona jest na zbiorze domkniętym i ograniczonym, co w
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
(
a
n
)
→
0
{\displaystyle (a_{n})\to 0}
lim
n
→
∞
f
(
x
,
y
+
a
n
)
−
f
(
x
,
y
)
a
n
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(x,y+a_{n})-f(x,y)}{a_{n}}}}
lim
n
→
∞
∫
a
b
f
(
x
,
y
+
a
n
)
−
f
(
x
,
y
)
a
n
d
x
=
∫
a
b
lim
n
→
∞
f
(
x
,
y
+
a
n
)
−
f
(
x
,
y
)
a
n
d
x
=
∫
a
b
∂
∂
y
f
(
x
,
y
)
d
x
.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}{\frac {f(x,y+a_{n})-f(x,y)}{a_{n}}}\,dx=\int _{a}^{b}\lim _{n\to \infty }{\frac {f(x,y+a_{n})-f(x,y)}{a_{n}}}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y)\,dx.}
Co na mocy dowolności ciągu
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
a
(
y
)
,
b
(
y
)
{\displaystyle a(y),b(y)}
I
h
=
1
h
(
∫
a
(
y
+
h
)
b
(
y
+
h
)
f
(
x
,
y
+
h
)
d
x
−
∫
a
(
y
)
b
(
y
)
f
(
x
,
y
)
d
x
)
=
1
h
(
∫
b
(
y
)
b
(
y
+
h
)
f
(
x
,
y
+
h
)
d
x
+
∫
a
(
y
)
b
(
y
)
f
(
x
,
y
+
h
)
d
x
+
∫
a
(
y
+
h
)
a
(
y
)
f
(
x
,
y
+
h
)
d
x
−
∫
a
(
y
)
b
(
y
)
f
(
x
,
y
)
d
x
)
=
∫
a
(
y
)
b
(
y
)
f
(
x
,
y
+
h
)
−
f
(
x
,
y
)
h
d
x
+
1
h
(
[
b
(
y
+
h
)
−
b
(
y
)
]
f
(
ξ
1
h
,
y
+
h
)
−
[
a
(
y
+
h
)
−
a
(
y
)
]
f
(
ξ
2
h
,
y
+
h
)
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{h}&={\frac {1}{h}}\left(\int _{a(y+h)}^{b(y+h)}\,f(x,y+h)dx-\int _{a(y)}^{b(y)}\,f(x,y)dx\right)\\&={\frac {1}{h}}\left(\int _{b(y)}^{b(y+h)}\,f(x,y+h)dx+\int _{a(y)}^{b(y)}\,f(x,y+h)dx+\int _{a(y+h)}^{a(y)}\,f(x,y+h)dx-\int _{a(y)}^{b(y)}\,f(x,y)dx\right)\\&=\int _{a(y)}^{b(y)}\,{\frac {f(x,y+h)-f(x,y)}{h}}dx+{\frac {1}{h}}\left([b(y+h)-b(y)]f(\xi _{1}^{h},y+h)-[a(y+h)-a(y)]f(\xi _{2}^{h},y+h)\right),\end{aligned}}}
gdzie ostatnia równość zachodzi na mocy twierdzenia o wartości pośredniej dla całki z funkcji ciągłej
ξ
1
h
∈
[
b
(
y
)
,
b
(
y
+
h
)
]
ξ
2
h
∈
[
a
(
y
)
,
a
(
y
+
h
)
]
.
{\displaystyle \xi _{1}^{h}\in [b(y),b(y+h)]\;\xi _{2}^{h}\in [a(y),a(y+h)].}
lim
h
→
0
I
h
=
lim
h
→
0
∫
a
(
y
)
b
(
y
)
f
(
x
,
y
+
h
)
−
f
(
x
,
y
)
h
d
x
+
f
(
b
(
y
)
,
y
)
lim
h
→
0
b
(
y
+
h
)
−
b
(
y
)
h
−
f
(
a
(
y
)
,
y
)
lim
h
→
0
[
a
(
y
+
h
)
−
a
(
y
)
h
=
∫
a
(
y
)
b
(
y
)
f
y
′
(
x
,
y
)
d
x
+
f
(
b
(
y
)
,
y
)
b
′
(
y
)
−
f
(
a
(
y
)
,
y
)
a
′
(
y
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}I_{h}&=\lim _{h\to 0}\int _{a(y)}^{b(y)}\,{\frac {f(x,y+h)-f(x,y)}{h}}dx+f(b(y),y)\lim _{h\to 0}{\frac {b(y+h)-b(y)}{h}}-f(a(y),y)\lim _{h\to 0}{\frac {[a(y+h)-a(y)}{h}}\\&=\int \limits _{a(y)}^{b(y)}f'_{y}(x,y)\mathrm {d} x+f(b(y),y)b'(y)-f(a(y),y)a'(y).\end{aligned}}}
Przy czym z ciągłości f mamy
ξ
1
h
→
b
(
x
)
ξ
2
h
→
a
(
x
)
.
{\displaystyle \xi _{1}^{h}\to b(x)\;\xi _{2}^{h}\to a(x).}
Korzystając z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej dla dowolnego ciągu dążącego do zera, oraz stosując definicję Heinego granicy funkcji jak powyżej otrzymujemy:
I
′
(
y
)
=
∫
a
b
lim
h
→
0
f
(
x
,
y
+
h
)
−
f
(
x
,
y
)
h
d
x
=
∫
a
b
∂
∂
y
f
(
x
,
y
)
d
x
.
{\displaystyle I'(y)=\int _{a}^{b}\lim _{h\to 0}{\frac {f(x,y+h)-f(x,y)}{h}}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y)\,dx.}
Bibliografia
edytuj
![{\displaystyle f\colon [a,b]\times [c,d]\ni (x,y)\mapsto \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c16dde31993c637bbe02cc51375c31408cef978)
![{\displaystyle [a(x),b(x)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35b891d3c04ed6d8ba2fb845cabed1674fb5e321)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{h}&={\frac {1}{h}}\left(\int _{a(y+h)}^{b(y+h)}\,f(x,y+h)dx-\int _{a(y)}^{b(y)}\,f(x,y)dx\right)\\&={\frac {1}{h}}\left(\int _{b(y)}^{b(y+h)}\,f(x,y+h)dx+\int _{a(y)}^{b(y)}\,f(x,y+h)dx+\int _{a(y+h)}^{a(y)}\,f(x,y+h)dx-\int _{a(y)}^{b(y)}\,f(x,y)dx\right)\\&=\int _{a(y)}^{b(y)}\,{\frac {f(x,y+h)-f(x,y)}{h}}dx+{\frac {1}{h}}\left([b(y+h)-b(y)]f(\xi _{1}^{h},y+h)-[a(y+h)-a(y)]f(\xi _{2}^{h},y+h)\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c617372cb647296955a8f91ddc14b869f5a516e)
![{\displaystyle \xi _{1}^{h}\in [b(y),b(y+h)]\;\xi _{2}^{h}\in [a(y),a(y+h)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a08832405b85d42bc8af9b9b4d67369468466135)
