Algebra ogólna

zbiór z działaniami
(Przekierowano z Struktura algebraiczna)

Algebra (ogólna) czasem: algebra uniwersalna lub abstrakcyjna – to ciąg postaci

gdzie:

  • – pewien zbiór,
  • – pewne wyróżnione elementy,
  • – pewne funkcje, które interpretuje się jako -argumentowe działania w

Przykładami algebr są grupa addytywna

grupa multiplikatywna

oraz pierścień

Algebra ogólna jest przedmiotem badań algebry uniwersalnej (zwanej też algebrą ogólną)[1][2].

Szczególnie ważną klasę algebr stanowią algebry równościowo definiowalne[3].

Definicja edytuj

Algebrą (lub algebrą ogólną) nazywamy skończony ciąg postaci[4]:

 

gdzie:

  jest niepustym zbiorem zwanym nośnikiem (albo uniwersum algebry),
  są pewnymi elementami zbioru   (nazywanymi elementami wyróżnionymi),
  są działaniami określonymi w zbiorze   przy czym   jest działaniem  -argumentowym, tzn. jest funkcją postaci   oraz  

Zwykle żąda się aby elementy wyróżnione i działania spełniały pewne własności.

Algebry podobne edytuj

Dwie algebry:

 

i

 

nazywamy algebrami podobnymi (lub algebrami tego samego typu) jeśli   oraz   oraz dla każdego   działania   oraz   są działaniami o tej samej liczbie argumentów, tzn.   oraz  [4].

Działania zgodne z relacją równoważności edytuj

Niech   będzie relacją równoważności w zbiorze    -argumentowe działanie   w   nazywa się zgodnym z relacją   jeśli dla każdych  

 [4].

W szczególności gdy   jest działaniem jednoargumentowym oznacza to, że dla każdych  

 

a gdy   jest działaniem dwuargumentowym, to

 

Innymi słowy działanie   w zbiorze   jest zgodne z relacją   jeśli daje równoważne wyniki na równoważnych argumentach.

Kongruencje edytuj

Relację równoważności   w algebrze   nazywa się kongruencją jeżeli dla każdego   działanie   jest zgodne z relacją  [4].

Algebra ilorazowa edytuj

Zobacz też: Zbiór ilorazowy.

Dysponując kongruencją   na algebrze   można skonstruować algebrę podobną do   Niech   będzie zbiorem ilorazowym. Algebrę   definiujemy jako

 

gdzie elementy wyróżnione   są skonstruowane jako klasy abstrakcji elementów   względem relacji   tzn.

 

a działania   są zdefiniowane wzorami[4]:

 

Aby działania   były dobrze zdefiniowane muszą nie zależeć od wyboru reprezentantów   Jest to równoważne żądaniu aby dla każdych  

 

co z kolei jest równoważne żądaniu aby relacja   była kongruencją.

Homomorfizm algebr edytuj

Homomorfizmem algebr podobnych   i   nazywa się funkcję   taką, że

 

dla   W szczególności, gdy   są działaniami dwuargumentowymi oznacza to

 

Alternatywne definicje algebry edytuj

Zobacz też: Algebra uniwersalna.

W algebrze uniwersalnej stosuje się bardziej abstrakcyjną definicję algebry. Niech   będzie rozłączną sumą zbiorów. Elementy zbioru   nazywamy symbolami i interpretujemy jako symbole działań, przy czym   są symbolami działań  -argumentowych. Algebrą nazwiemy zbiór   wraz z przyporządkowaniem każdemu symbolowi    -argumentowego działania   Bardzo często wygodnie jest utożsamiać symbole   z działaniami  

Algebrę można zdefiniować jeszcze inaczej. Parę   gdzie   jest zbiorem, a   nazywa się typem algebry. Parę   nazywa się algebrą typu   jeśli zbiory   i   są równoliczne i każdemu   odpowiada   taki, że   Element   nazywa się działaniem lub operacją  -argumentową.

Przykłady edytuj

Półgrupa edytuj

Algebrę   nazywa się półgrupą jeśli działanie   jest łączne, tzn. dla każdych  

 

Grupa edytuj

Algebrę   nazywa się grupą jeśli jest półgrupą oraz ponadto

  • Dla każdego   zachodzi
 
  • Dla każdego   istnieje   takie, że
 

Element   nazywa się elementem neutralnym działania   a   elementem odwrotnym do   lub elementem przeciwnym do   i oznacza odpowiednio   lub  

Grupa abelowa edytuj

Grupę   w której działanie jest przemienne, tzn. dla każdych   zachodzi

 

nazywa się grupą przemienną lub abelową.

Grupa addytywna i multiplikatywna edytuj

Grupę w której działanie interpretuje się jako dodawanie oznacza się   i nazywa się grupą addytywną, a grupę w której działanie interpretuje się jako mnożenie oznacza się   i nazywa grupą multiplikatywną.

Pierścień (łączny) edytuj

Algebrę   nazywa się pierścieniem (łącznym) jeśli

  •   jest grupą przemienną,
  •   jest półgrupą,

ponadto mnożenie jest rozdzielne względem dodawania, tzn. dla każdych  

 
 

Zobacz też edytuj

Przypisy edytuj

  1. А.Г. Курош: Общая алгебра. Лекции 1969–1970 учебного года. Wyd. 1. Наука, 1974, s. 11.
  2. Л.А. Скорняков: Элементы общей алгебры. Wyd. 1. Наука, 1983, s. 31, 32.
  3. Algebrom tym poświęcone są: rozdz. XIV, § 7 w książce: H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, Warszawa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1968 oraz § 5.5 w książce: Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.
  4. a b c d e Guzicki i Zakrzewski 2012 ↓.

Bibliografia edytuj

Linki zewnętrzne edytuj

  •   General algebra (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-10-10].