Twierdzenie Fejéra

Twierdzenie Fejéra – twierdzenie analizy harmonicznej, mówiące, że ciąg tzw. sum Fejéra rzeczywistej funkcji całkowalnej w sensie Lebesgue’a, okresowej, o okresie 2π i ciągłej jest do niej zbieżny jednostajnie. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska węgierskiego matematyka, Lipóta Fejéra.

Pojęcia wstępne

Jeśli $f\colon [-\pi ,\pi ]\to \mathbb {C}$ jest całkowalna w sensie Lebesgue’a, to ciąg ${\hat {f}}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {C}$ dany wzorem

${\hat {f}}(k)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}dx$

nazywamy transformatą Fouriera funkcji $f,$ natomiast ciąg $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ dany wzorem

$s_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}}(k)e^{ikx}$ dla $x\in \mathbb {R}$

nazywamy ciągiem sum częściowych szeregu Fouriera funkcji $f.$ Jeżeli $D_{n}$ jest $n$-tym jądrem Dirichleta oraz $x\in \mathbb {R} ,$ to

$s_{n}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }D_{n}(x-y)f(y)dy.$

Jeśli $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ciągiem sum częściowych szeregu Fouriera funkcji $f,$ to ciąg $(\sigma _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ dany wzorem

$\sigma _{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}$ dla $x\in \mathbb {R}$

nazywamy ciągiem sum Fejéra funkcji $f.$

Twierdzenie Fejéra

Jeżeli $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ jest całkowalna w sensie Lebesgue’a oraz okresowa o okresie $2\pi ,$ to ciąg $(\sigma _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jej sum Fejéra jest do niej jednostajnie zbieżny.

Uwagi o dowodzie

Powyższe twierdzenie można udowodnić korzystając z faktów:

• Funkcja ciągła i okresowa jest ograniczona.
• Funkcja ciągła określona na przedziale zwartym jest jednostajnie ciągła.

W wypowiedzi twierdzenia zamiast całkowalności ma być oczywiście ciągłość!!! (natomiast z należenia do przestrzeni L^p wynika zbieżność σ_n do f w normie tejże przestrzeni dla 1≤p<∞)

Zastosowania

• Jeżeli $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ jest całkowalna w sensie Lebesgue’a oraz okresowa o okresie $2\pi ,$ $x\in \mathbb {R}$ oraz sum częściowych szeregu Fouriera funkcji $f$ w punkcie $x$ jest zbieżny do $f(x),$ to funkcja $f$ daje się przedstawić w postaci swojego szeregu Fouriera:

$f(x)={\tfrac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }((a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)),$

gdzie $a_{n},b_{n}$ oznaczają wzory Eulera-Fouriera dla funkcji $f.$

Korzystając z kryterium Weierstrassa oraz powyższego wnoisku można udowodnić następujące twierdzenie:

• Jeżeli $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ jest całkowalna w sensie Lebesgue’a oraz okresowa o okresie $2\pi$ oraz szereg

$\sum _{n=1}^{\infty }(|a_{n}|+|b_{n}|)<\infty ,$

to jej szereg Fouriera jest do niej jednostajnie zbieżny.

Innym wnioskiem z twierdzenia Fejéra jest następujący fakt:

• Jeżeli $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ jest całkowalna w sensie Lebesgue’a oraz okresowa o okresie $2\pi$ oraz $f|_{[-\pi ,\pi ]}$ jest funkcją klasy C¹, to jej szereg Fouriera jest do niej jednostajnie zbieżny.

Twierdzenia Fejéra używa się także w dowodzie zupełności układu trygonometrycznego, tzn. twierdzenia mówiącego, że jeśli funkcja $f\colon [-\pi ,\pi ]\to \mathbb {C}$ jest całkowalna z kwadratem, to

$\lim _{n\to \infty }\int \limits _{-\pi }^{\pi }|f(x)-\sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}}(k)e^{ikx}|^{2}dx=0.$

Bibliografia

• Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1976. Brak numerów stron w książce