Twierdzenie Fejéra

Twierdzenie Fejéra – twierdzenie analizy harmonicznej, mówiące, że ciąg tzw. sum Fejéra rzeczywistej funkcji całkowalnej w sensie Lebesgue’a, okresowej, o okresie 2π i ciągłej jest do niej zbieżny jednostajnie. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska węgierskiego matematyka, Lipóta Fejéra.

Pojęcia wstępneEdytuj

Jeśli   jest całkowalna w sensie Lebesgue’a, to ciąg   dany wzorem

 

nazywamy transformatą Fouriera funkcji   natomiast ciąg   dany wzorem

  dla  

nazywamy ciągiem sum częściowych szeregu Fouriera funkcji   Jeżeli   jest  -tym jądrem Dirichleta oraz   to

 

Jeśli   ciągiem sum częściowych szeregu Fouriera funkcji   to ciąg   dany wzorem

  dla  

nazywamy ciągiem sum Fejéra funkcji  

Twierdzenie FejéraEdytuj

Jeżeli   jest całkowalna w sensie Lebesgue’a oraz okresowa o okresie   to ciąg   jej sum Fejéra jest do niej jednostajnie zbieżny.

Uwagi o dowodzieEdytuj

Powyższe twierdzenie można udowodnić korzystając z faktów:

W wypowiedzi twierdzenia zamiast całkowalności ma być oczywiście ciągłość!!! (natomiast z należenia do przestrzeni L^p wynika zbieżność σ_n do f w normie tejże przestrzeni dla 1≤p<∞)

ZastosowaniaEdytuj

  • Jeżeli   jest całkowalna w sensie Lebesgue’a oraz okresowa o okresie     oraz sum częściowych szeregu Fouriera funkcji   w punkcie   jest zbieżny do   to funkcja   daje się przedstawić w postaci swojego szeregu Fouriera:
 

gdzie   oznaczają wzory Eulera-Fouriera dla funkcji  

Korzystając z kryterium Weierstrassa oraz powyższego wnoisku można udowodnić następujące twierdzenie:

  • Jeżeli   jest całkowalna w sensie Lebesgue’a oraz okresowa o okresie   oraz szereg
 

to jej szereg Fouriera jest do niej jednostajnie zbieżny.

Innym wnioskiem z twierdzenia Fejéra jest następujący fakt:

  • Jeżeli   jest całkowalna w sensie Lebesgue’a oraz okresowa o okresie   oraz   jest funkcją klasy C1, to jej szereg Fouriera jest do niej jednostajnie zbieżny.

Twierdzenia Fejéra używa się także w dowodzie zupełności układu trygonometrycznego, tzn. twierdzenia mówiącego, że jeśli funkcja   jest całkowalna z kwadratem, to

 

BibliografiaEdytuj