Flaga (algebra liniowa)

Flaga – rosnący ciąg podprzestrzeni skończeniewymiarowej przestrzeni liniowej $V,$ gdzie wyraz „rosnący” oznacza, iż każda z przestrzeni jest właściwą podprzestrzenią kolejnej (zob. filtracja):

$\{\mathbf {0} \}=V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \dots \subset V_{k}=V.$

Jeżeli $\dim V_{j}=d_{j},$ to

$0=d_{0}<d_{1}<d_{2}<\dots <d_{k}=n,$

gdzie $n$ oznacza wymiar $V$ (przyjmując, że jest ona skończeniewymiarowa). Stąd musi być $k\leqslant n.$ Flagę nazywa się zupełną, jeżeli $d_{j}=j,$ w przeciwnym wypadku nazywa się ją częściową.

Flagę częściową można otrzymać z zupełnej poprzez usunięcie pewnej liczby podprzestrzeni i odwrotnie: każda flaga częściowa może być uzupełniona (na wiele różnych sposobów) poprzez wstawianie odpowiednich podprzestrzeni.

Ciąg $(d_{1},\dots ,d_{k})$ wymiarów podprzestrzeni z których się składa, nazywa się sygnaturą flagi.

Bazy

O uporządkowanej bazie $V$ mówi się, że jest adaptowana do flagi, jeżeli pierwsze $d_{i}$ wektorów bazowych stanowi bazę $V_{j}$ dla każdego $0\leqslant j\leqslant k.$ Za pomocą standardowych twierdzeń algebry liniowej można dowieść, że każda flaga ma bazę adaptowaną.

Dowolna baza uporządkowana może być przekształcona we flagę zupełną przyjmując, iż każda z podprzestrzeni $V_{j}$ jest rozpięta przez pierwsze $i$ wektorów bazowych. Na przykład flaga standardowa w $\mathbb {R} ^{n}$ jest indukowana za pomocą bazy standardowej $(e_{1},\dots ,e_{n}),$ gdzie $e_{j}$ oznacza wektor z $1$ na $j$-tej współrzędnej i z $0$ na pozostałych. Mianowicie jest to ciąg podprzestrzeni:

$K^{0}=\{\mathbf {0} \}<\langle e_{1}\rangle <\langle e_{1},e_{2}\rangle <\dots <\langle e_{1},\dots ,e_{n}\rangle =K^{n}.$

Baza adaptowana prawie nigdy nie jest wyznaczona jednoznacznie (trywialne kontrprzykłady); zobacz niżej.

Flaga zupełna na przestrzeni unitarnej ma w zasadzie wyznaczoną jednoznacznie bazę ortonormalną: jest ona jednoznaczna co do mnożenia każdego z wektorów przez jedność (skalar jednostkowy, jak np. $1,-1,i$). Najłatwiej wynik ten osiągnąć za pomocą indukcji zauważając, że $v_{j}\in V_{j-1}^{\perp }<V_{j},$ co definiuje ją jednoznacznie co do jedności.

Bardziej abstrakcyjnie: jest ona wyznaczona jednoznacznie co do działania torusa maksymalnego – flaga odpowiada podgrupie Borela, a iloczyn skalarny jest odpowiednikiem maksymalnej podgrupy zwartej.

Stabilizator

Podgrupa stabilizatora standardowej flagi grupą odwracalnych macierzy górnotrójkątnych.

Ogólniej, stabilizator flagi (złożony z operatorów liniowych $T$ działających na $V$ takich, że $T(V_{j})<V_{j}$ dla każdego $j$) jest, w języku macierzy, algebrą górnotrójkątnych macierzy klatkowych (względem bazy adaptowanych), gdzie klatki są stopnia $d_{j}-d_{j-1}.$ Podgrupą stabilizatora flagi zupełnej jest górnotrójkątnych macierzy odwracalnych względem dowolnej bazy adaptowanej do flagi. Podgrupa macierzy dolnotrójkątnych względem takiej bazy zależy od tej bazy i z tego powodu nie może być scharakteryzowana wyłącznie za pomocą języka flag.

Podgrupa stabilizatora dowolnej flagi zupełnej jest podgrupą Borela (pełnej grupy liniowej), a stabilizator dowolnej flagi częściowej to podgrupa paraboliczna.

Podgrupa stabilizatora flagi działa w sposób regularny na bazach adaptowanych do flagi, tak więc nie są one wyznaczone w sposób jednoznaczny, o ile stabilizator nie jest trywialny, co zdarza się w wyjątkowej sytuacji: wyłącznie dla przestrzeni liniowej wymiaru $0$ lub przestrzeni liniowej nad $\mathbf {F} _{2}$ wymiaru $1$ (a więc dokładnie w tych przypadkach, gdy istnieje dokładnie jedna baza, niezależnie od jakiejkolwiek flagi).

Uogólnienia

Gniazdo podprzestrzeni

W nieskończeniewymiarowej przestrzeni $V,$ jaką spotyka się w analizie funkcjonalnej, ideę flagi uogólnia się do gniazda podprzestrzeni (ang. subspace nest). Jest to uporządkowany liniowo (za pomocą inkluzji) zbiór podprzestrzeni $V$ zamknięty ze względu na branie przekrojów i powłok liniowych.

Zobacz też

• filtracja
• grassmannian
• rozmaitość flagowa