Otwórz menu główne

Liczba bezkwadratowa

Liczba całkowita niepodzielna przez żaden kwadrat liczby całkowitej z wyjątkiem 1
10 jest podzielne przez 2, 5 i 10, żadna z nich nie jest kwadratem liczby całkowitej (pierwszych kilka kwadratów liczby całkowitej to 1, 4, 9 i 16)

Liczba bezkwadratowa – taka liczba całkowita, która nie jest podzielna przez żaden kwadrat liczby całkowitej z wyjątkiem 1. Na przykład 10 jest liczbą bezkwadratową, ale 18 nie jest, bo 18 jest podzielne przez 9 = 3². Najmniejsze dodatnie liczby bezkwadratowe to[1]:

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, ... (OEIS: A005117.)

Spis treści

Bezkwadratowe czynniki liczb całkowitychEdytuj

Radykał liczby całkowitej jest zawsze bezkwadratowy: liczba całkowita jest bezkwadratowa, jeśli jest równa swemu radykałowi.

Radykał liczby całkowitej jest jej największym czynnikiem bezkwadratowym. Liczba całkowita jest bezkwadratowa, wtedy i tylko wtedy, gdy jest równa swemu radykałowi.

Dowolna dodatnia liczba całkowita   może zostać przedstawiona w jednoznaczny sposób jako iloczyn potęgi liczby całkowitej i liczby bezkwadratowej, które są względnie pierwsze. Czynnik bezkwadratowy jest największym bezkwadratowym dzielnikiem   liczby   który jest względnie pierwszy z  

Dowolna dodatnia liczba całkowita   może zostać przedstawiona w jednoznaczny sposób jako iloczyn drugiej potęgi liczby całkowitej i liczby bezkwadratowej:

 

W tym rozkładzie   jest największym dzielnikiem liczby   takim, że   jest dzielnikiem  

Równoważne charakterystykiEdytuj

Dodatnia liczba całkowita   jest bezkwadratowa, wtedy i tylko wtedy, gdy w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby   żadna liczba pierwsza nie występuje więcej niż raz[1]. Można to samo wyrazić w inny sposób: dla każdego dzielnika   liczby   będącego liczbą pierwszą,   nie dzieli jeszcze   Inne sformułowanie jest następujące:   jest bezkwadratowe wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym rozkładzie   czynniki   i  względnie pierwsze. Bezpośrednim wnioskiem z tej definicji jest to, że wszystkie liczby pierwsze są bezkwadratowe.

Dodatnia liczba całkowita   jest bezkwadratowa, wtedy i tylko wtedy, gdy   gdzie   oznacza funkcję Möbiusa.

Dodatnia liczba całkowita   jest bezkwadratowa, wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie grupy abelowe rzędu  izomorficzne, co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy dowolna z nich jest cykliczna. Wynika to z klasyfikacji skończenie generowanych grup abelowych.

Liczba całkowita   jest bezkwadratowa, wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy   jest produktem ciał. Wynika to z chińskiego twierdzenie o resztach oraz faktu, że pierścień postaci   jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy   jest liczbą pierwszą.

Dla każdej dodatniej liczby całkowitej   zbiór wszystkich dodatnich dzielników   staje się zbiorem częściowo uporządkowanym jeśli użyjemy podzielności jako relacji porządku. Taki częściowo uporządkowany zbiór jest zawsze kratą rozdzielną. Jest algebrą Boole’a wtedy i tylko wtedy, gdy   jest bezkwadratowe.

Funkcja tworząca DirichletaEdytuj

Funkcja tworząca Dirichleta dla liczb bezkwadratowych jest następująca

  gdzie   jest funkcją dzeta Riemanna.

Można to łatwo zobaczyć w produkcie Eulera

 

DystrybucjaEdytuj

Niech   oznacza liczbę liczb bezkwadratowych między 1 i   Wtedy            [1]. Dla dużych   3/4 dodatnich liczb mniejszych niż   nie dzieli się przez 4, 8/9 z tych liczb nie dzieli się przez 9 i tak dalej. Ponieważ te zdarzenia są niezależne otrzymujemy przybliżenie

 
 

Powyższą tezę można uściślić, a całkowicie elementarne oszacowanie daje

 

(zobacz pi i notacja dużego  ) ponieważ używamy powyższej charakterystyki do uzyskania

 

a zauważywszy, że ostatni składnik sumy jest równy zero dla   mamy

 

Wykorzystanie przez Arnolda Walfisza[2] największego znanego obszaru bez zer funkcji dzeta Riemanna, który odkryli Winogradow, Korobow i Richert, umożliwiło zredukowanie maksymalnego rozmiaru błędu i mamy

 

dla pewnej dodatniej stałej   Na podstawie hipotezy Riemanna błąd można dalej redukować[3][4][5], by otrzymać

 

Dlatego asymptotyczna gęstość liczb bezkwadratowych jest

 

gdzie ζ is the funkcją dzeta Riemanna, a 1/ζ(2) jest w przybliżeniu 0,6079. Dlatego ponad 3/5 liczb całkowitych jest bezkwadratowa.

Podobnie, jeśli   oznacza liczbę  -wolnych liczb całkowitych (wtedy na przykład 2-wolne liczby całkowite oznaczają liczby bezkwadratowe, 3-wolne liczby całkowite są bezsześcienne) między 1 i   można pokazać, że

 

Kodowanie jako liczby binarneEdytuj

Jeśli przedstawimy liczby bezkwadratowe jako nieskończony produkt

 

wtedy możemy wziąć te   i użyć ich jako bitów w liczbie binarnej z kodowaniem

 

Liczba bezkwadratowa 42 ma rozkład   lub jest nieskończonym produktem   Dlatego 42 można zakodować jako sekwencję binarną ...001011 lub dziesiętne 11.

Skoro rozkład na liczby pierwsze jest jednoznaczny, więc również jednoznaczne jest binarne zakodowanie liczb bezkwadratowych.

Stwierdzenie odwrotne jest również prawdziwe. Ponieważ każda dodatnia liczba całkowita ma jednoznaczną reprezentację binarną, możliwe jest odwrócenie kodowania, więc mogą zostać odkodowane jednoznacznie do liczby bezkwadratowej.

Na przykład jeśli znowu zaczniemy od liczby 42, jako od zwykłej dodatniej liczby całkowitej, to jej binarna reprezentacja 101010 dekoduje się do  

Dlatego kodowania liczb całkowitych bezkwadratowych w prawidłowej kolejności są permutacjami zbioru wszystkich liczb całkowitych.

Zobacz sekwencje OEIS: A019565., A048672. i A064273.

Twierdzenie bezkwadratowe ErdősaEdytuj

Środkowy współczynnik dwumianowy

 

nigdy nie jest bezkwadratowy dla   Zostało to udowodnione w 1985 przez Andrása Sárközy’ego dla wszystkich wystarczjąco dużych liczb całkowitych[6], a dla wszystkich liczb całkowitych   w 1996 przez Oliviera Ramaré’a i Andrew Granville’a[7].

Rdzeń bezkwadratowyEdytuj

Funkcja multiplikatywna   jest definiowana do mapowania dodatnich liczb całkowitych   na  -wolne liczby przez redukcję wykładników w potęgach liczb pierwszych reprezentacji modulo  :

 

Zbiorem wartości   są w szczególności liczby bezkwadratowe. Ich funkcje tworzące Dirichleta są następujące

 

Odpowiedniki OEIS to: A007913.   A050985.   i A053165.  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj