Pięciokąt

wielokąt o pięciu bokach
(Przekierowano z Pięciobok)

Pięciokąt (pięciobok) – wielokąt o pięciu bokach. Każdy pięciokąt ma pięć przekątnych. Szczególnym przypadkiem pięciokąta jest pięciokąt foremny.

Pięciokąt foremny

Pięciokąt foremny

edytuj

Pięciokąt foremny, pentagon[1]wielokąt foremny o pięciu bokach. Pięciokąty foremne są ścianami takich wielościanów jak m.in. dwunastościan foremny i dwudziestościan ścięty.

Własności

edytuj
 
Kąty w pięciokącie foremnym

Pięciokąt foremny o boku długości   ma następujące własności:

 
 
 
  • promień okręgu opisanego na pięciokącie foremnym ma długość
 
 
  • przekątna ma długość
 
gdzie   oznacza złotą liczbę
  • wysokość ma długość
 

Konstruowalność

edytuj

Możliwość skonstruowania przy użyciu cyrkla i linijki pięciokąta foremnego wynika z twierdzenia Gaussa-Wantzela (liczba 5 jest liczbą pierwszą Fermata). Poniżej przedstawiono cztery przykładowe algorytmy; opierają się głównie na własności, że bok pięciokąta foremnego jest złotą częścią jego przekątnej.

Konstrukcja 1.

edytuj
 
Konstrukcja 1

Poniższą konstrukcję przedstawił H. W. Richmond w 1893 roku[2].

  1. Narysuj okrąg o środku S.
  2. Narysuj średnicę AB.
  3. Narysuj promień CS prostopadły do średnicy AB.
  4. Znajdź środek D odcinka CS i narysuj odcinek AD.
  5. Narysuj dwusieczną kąta ∠ADS, punkt jej przecięcia ze średnicą AB oznacz E.
  6. Narysuj prostą prostopadłą do AB przechodzącą przez E, punkt jej przecięcia z okręgiem oznacz F.
  7. Odcinek AF jest bokiem pięciokąta wpisanego w wyjściowy okrąg.

Konstrukcja 2.

edytuj
 
Konstrukcja 2

Ptolemeusz w swoim dziele Almagest[3][4] opisuje sposób znalezienia długości boku pięciokąta wpisanego w zadany okrąg.

  1. Narysuj okrąg o środku S.
  2. Narysuj średnicę okręgu i prostopadły do niej promień BS.
  3. Znajdź środek A jednego z promieni zawierających się w średnicy.
  4. Narysuj łuk o środku A i promieniu AB, punkt jego przecięcia ze średnicą oznacz C.
  5. Odcinek BC ma długość boku pięciokąta wpisanego w wyjściowy okrąg.

Konstrukcja 3.

edytuj
 
Konstrukcja 3

Metodę Ptolemeusza można rozbudować, uzyskując algorytm znalezienia wszystkich pięciu wierzchołków na okręgu.

  1. Narysuj okrąg o środku S.
  2. Narysuj prostą przechodzącą przez S i przecinającą okrąg w punktach A i B.
  3. Narysuj promień CS prostopadły do średnicy AB.
  4. Znajdź środek odcinka BS i oznacz go D.
  5. Narysuj łuk o środku D i promieniu CD, punkty jego przecięcia z prostą AB oznacz E i F.
  6. Narysuj łuk o środku C i promieniu CE, punkty jego przecięcia z okręgiem oznacz G i H.
  7. Narysuj łuk o środku C i promieniu CF, punkty jego przecięcia z okręgiem oznacz I i J.
  8. Punkty C, G, H, I, J są wierzchołkami pięciokąta foremnego.

Konstrukcja 4.

edytuj
 
Konstrukcja 4

W poniższej konstrukcji wykorzystano okrąg Carlyle’a[3].

  1. Narysuj okrąg o środku O.
  2. Przez punkt O poprowadź prostą k, punkty jej przecięcia z okręgiem oznacz Q i P.
  3. Narysuj promień OA prostopadły do średnicy QP.
  4. Znajdź środek M promienia OQ.
  5. Narysuj okrąg o środku M przechodzący przez A; punkty jego przecięcia z prostą k oznacz V i W.
  6. Zakreśl łuk o środku W i promieniu OP, punkty jego przecięcia z wyjściowym okręgiem oznacz P1 i P4.
  7. Zakreśl łuk o środku V i promieniu OP, punkty jego przecięcia z wyjściowym okręgiem oznacz P2 i P3.
  8. Punkty P, P1, P2, P3, P4 są wierzchołkami pięciokąta foremnego.

Zobacz też

edytuj

Przypisy

edytuj
  1. pentagon, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-10-08].
  2. Eric W. Weisstein, Pentagon, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
  3. a b DeTemple, D.W. Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions.
  4. Ptolemy’s Construction for the Side of a Pentagon as a Formula.

Linki zewnętrzne

edytuj