Pięciokąt

Pięciokąt (pięciobok) – wielokąt o pięciu bokach. Każdy pięciokąt ma pięć przekątnych. Szczególnym przypadkiem pięciokąta jest pięciokąt foremny.

Pięciokąt foremny

Pięciokąt foremny, pentagon^[1] – wielokąt foremny o pięciu bokach. Pięciokąty foremne są ścianami takich wielościanów jak m.in. dwunastościan foremny i dwudziestościan ścięty.

Kąty w pięciokącie foremnym

Pięciokąt foremny o boku długości $a$ ma następujące własności:

{\frac {3}{5}}\pi =108^{\circ }

{\frac {2}{5}}\pi =72^{\circ }

P={\frac {5a^{2}}{4}}\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{5}}={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\approx 1{,}72048\cdot a^{2}

R=a{\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{10}}=a{\frac {1}{\sqrt {3-\varphi }}}

r={\frac {a{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{10}}={\frac {\varphi R}{2}}

d={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}a=\varphi a,

gdzie

\varphi

h=a{\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}

Możliwość skonstruowania przy użyciu cyrkla i linijki pięciokąta foremnego wynika z twierdzenia Gaussa-Wantzela (liczba 5 jest liczbą pierwszą Fermata). Poniżej przedstawiono cztery przykładowe algorytmy; opierają się głównie na własności, że bok pięciokąta foremnego jest złotą częścią jego przekątnej.

Konstrukcja 1

Poniższą konstrukcję przedstawił H. W. Richmond w 1893 roku^[2].

Narysuj okrąg o środku S.
Narysuj średnicę AB.
Narysuj promień CS prostopadły do średnicy AB.
Znajdź środek D odcinka CS i narysuj odcinek AD.
Narysuj dwusieczną kąta ∠ADS, punkt jej przecięcia ze średnicą AB oznacz E.
Narysuj prostą prostopadłą do AB przechodzącą przez E, punkt jej przecięcia z okręgiem oznacz F.
Odcinek AF jest bokiem pięciokąta wpisanego w wyjściowy okrąg.

Konstrukcja 2

Ptolemeusz w swoim dziele Almagest^[3]^[4] opisuje sposób znalezienia długości boku pięciokąta wpisanego w zadany okrąg.

Narysuj okrąg o środku S.
Narysuj średnicę okręgu i prostopadły do niej promień BS.
Znajdź środek A jednego z promieni zawierających się w średnicy.
Narysuj łuk o środku A i promieniu AB, punkt jego przecięcia ze średnicą oznacz C.
Odcinek BC ma długość boku pięciokąta wpisanego w wyjściowy okrąg.

Konstrukcja 3

Metodę Ptolemeusza można rozbudować, uzyskując algorytm znalezienia wszystkich pięciu wierzchołków na okręgu.

Narysuj okrąg o środku S.
Narysuj prostą przechodzącą przez S i przecinającą okrąg w punktach A i B.
Narysuj promień CS prostopadły do średnicy AB.
Znajdź środek odcinka BS i oznacz go D.
Narysuj łuk o środku D i promieniu CD, punkty jego przecięcia z prostą AB oznacz E i F.
Narysuj łuk o środku C i promieniu CE, punkty jego przecięcia z okręgiem oznacz G i H.
Narysuj łuk o środku C i promieniu CF, punkty jego przecięcia z okręgiem oznacz I i J.
Punkty C, G, H, I, J są wierzchołkami pięciokąta foremnego.

Konstrukcja 4

W poniższej konstrukcji wykorzystano okrąg Carlyle’a^[3].

Narysuj okrąg o środku O.
Przez punkt O poprowadź prostą k, punkty jej przecięcia z okręgiem oznacz Q i P.
Narysuj promień OA prostopadły do średnicy QP.
Znajdź środek M promienia OQ.
Narysuj okrąg o środku M przechodzący przez A; punkty jego przecięcia z prostą k oznacz V i W.
Zakreśl łuk o środku W i promieniu OP, punkty jego przecięcia z wyjściowym okręgiem oznacz P₁ i P₄.
Zakreśl łuk o środku V i promieniu OP, punkty jego przecięcia z wyjściowym okręgiem oznacz P₂ i P₃.
Punkty P, P₁, P₂, P₃, P₄ są wierzchołkami pięciokąta foremnego.