Punkt eksponowany

Punkt eksponowany – punkt $x_{0}$ domkniętego podzbioru wypukłego $K$ przestrzeni liniowo-topologicznej $X$ o tej własności, że istnieje ciągły funkcjonał liniowy $f\in X^{*},$ który jest ograniczony z góry na $K,$ tj.

\sup _{x\in K}\mathrm {Re} \,\langle f,x\rangle <\infty ,

oraz $x_{0}$ jest jedynym takim punktem w $K,$ że^[1]:

\sup _{x\in K}\mathrm {Re} \,\langle f,x\rangle =\mathrm {Re} \,\langle f,x_{0}\rangle ,

tj. $x_{0}$ jest jedynym punktem $K$ w którym (część rzeczywista) $f$ osiąga swoje maksimum na $K.$ Innymi słowy, punkt $x_{0}$ jest eksponowany, gdy istnieje taka hiperpłaszczyzna podpierająca $H$ zbioru $K,$ że^[2]:

H\cap K=\{x_{0}\}.

Zbiór punktów eksponowanych danego zbioru wypukłego $K$ oznaczany bywa symbolem $\exp K.$

Pojęcie zostało wprowadzone w 1935 roku przez Stefana Straszewicza^[3].

Związek z punktami ekstremalnymi

Osobne artykuły: punkt ekstremalny i twierdzenie Straszewicza.

Zbiór wypukły (kolor czerwony) wraz z zaznaczonymi punktami ekstremalnymi, które nie są eksponowane

Niech $K$ będzie domkniętym i wypukłym podzbiorem przestrzeni liniowo-topologicznej. Każdy punkt eksponowany zbioru $K$ jest również punktem ekstremalnym^[1]. Przeciwna implikacja nie zachodzi nawet na płaszczyźnie. Istotnie, niech $K$ będzie sumą prostokąta $[-1,1]\times [-1,0]$ oraz domkniętego koła o środku w zerze i promieniu 1. Wówczas punkty $(-1,0),(1,0)$ są ekstremalne, ale nie są eksponowane, gdyż (jedyne) hiperpłaszczyzny podpierające zawierające te punkty zawierają także odpowiednie boki prostokąta $[-1,1]\times [-1,0]$ (zob. grafika obok). W skończonych wymiarach, każdy punkt ekstremalny zwartego zbioru wypukłego $K$ w przestrzeni euklidesowej jest granicą ciągu punktów eksponowanych (twierdzenie Straszewicza). W szczególności,

K={\overline {\mathrm {conv} }}\,\exp \,K.

^[2]

Punkty mocno eksponowane

Niech $K$ będzie domkniętym i wypukłym podzbiorem przestrzeni liniowo-topologicznej. Punkt $x_{0}\in X$ jest mocno eksponowany, gdy istnieje taki funkcjonał $f\in X^{*},$ że dla każdego ciągu $(x_{n})$ elementów $K,$ jeżeli

\mathrm {Re} \,\langle f,x_{n}\rangle \to \sup _{x\in K}\mathrm {Re} \,\langle f,x\rangle ,

to $x_{n}\to x_{0}.$

Zbiór punktów mocno eksponowanych zbioru $K$ oznaczany bywa symbolem $\operatorname {stexp} K.$

Każdy punkt mocno eksponowany jest eksponowany. W przypadku, gdy zbiór $K$ jest dodatkowo zwarty, to każdy punkt eksponowany jest też mocno eksponowany^[4]. Każdy punkt ekstremalny kuli jednostkowej przestrzeni ℓ_∞ jest *-słabo eksponowany, tj. funkcjonał $f$ można dobrać z przestrzeni ℓ₁^[5]. Lindenstrauss i Phelps wykazali, że w każdej ośrodkowej przestrzeni refleksywnej da się wprowadzić normę równoważną, której kula jednostkowa ma co najwyżej przeliczalnie wiele punktów mocno eksponowanych^[6]

Punkty mocno eksponowane słabo zwartych zbiorów wypukłych

Niech $X$ będzie przestrzenią Banacha oraz niech $K$ będzie wypukłym i słabo zwartym podzbiorem $X.$ Lindenstrauss^[7], a także Troyanski^[8], udowodnili, że

K={\overline {\mathrm {conv} }}\,\mathrm {stexp} \,K.

Lau wykazał, że zbiór tych funkcjonałów $f\in X^{*},$ które świadczą o tym, że dany podzbiór słabo zwartego zbioru wypukłego jest mocno eksponowany jest typu G_δ^[9].

Przypisy

↑ ^a ^b Megginson 1998 ↓, s. 270.
↑ ^a ^b Schneider 1993 ↓, s. 18.
↑ S. Straszewicz, Über exponierte Punkte abgeschlossener Punktmengen, Fund. Math., 24 (1935), 139–143.
↑ Fabian et al. 2011 ↓, s. 416.
↑ Fabian et al. 2011 ↓, s. 417.
↑ J. Lindenstrauss, R.R. Phelps, Extreme point properties of convex bodies in reflexive Banach spaces, Israel J. Math., 6 (1968), 39–48.
↑ J. Lindenstrauss, On operators which attain their norm, Israel J. Math. 1 (1963), 139–148.
↑ S.L. Troyanski, On locally uniformly convex and differentiable norms in certain non-separable Banach spaces, Studia Math. 37 (1970/71), 173–180.
↑ K.-S. Lau, A remark on strongly exposing functionals, Proc. Amer. Math. Soc., '59 (1976), 242–244.

Bibliografia

M. Fabian, P. Habala, P. Hájek, V. Montesinos, V. Zizler, Banach Space Theory: The Basis for Linear and Nonlinear Analysis, CMS Books in Math. Springer, 2011
Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. New York: Springer-Verlag, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
Rolf Schneider: Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory. Cambridge University Press, 1993, seria: Encyclopedia of Mathematics and its Applications. ISBN 978-0521352208.

[CITEREFMegginson1998270-1] Megginson 1998 ↓, s. 270.

[CITEREFSchneider199318-2] Schneider 1993 ↓, s. 18.

[3] S. Straszewicz, Über exponierte Punkte abgeschlossener Punktmengen, Fund. Math., 24 (1935), 139–143.

[CITEREFFabian_''et_al.''2011416-4] Fabian et al. 2011 ↓, s. 416.

[CITEREFFabian_''et_al.''2011417-5] Fabian et al. 2011 ↓, s. 417.

[6] J. Lindenstrauss, R.R. Phelps, Extreme point properties of convex bodies in reflexive Banach spaces, Israel J. Math., 6 (1968), 39–48.

[7] J. Lindenstrauss, On operators which attain their norm, Israel J. Math. 1 (1963), 139–148.

[8] S.L. Troyanski, On locally uniformly convex and differentiable norms in certain non-separable Banach spaces, Studia Math. 37 (1970/71), 173–180.

[9] K.-S. Lau, A remark on strongly exposing functionals, Proc. Amer. Math. Soc., '59 (1976), 242–244.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]