Rozkład Pascala

Rozkład Pascala (ujemny rozkład dwumianowy) – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący m.in. liczbę sukcesów i porażek w niezależnych i posiadających równe prawdopodobieństwo sukcesu próbach Bernoulliego. Jest uogólnieniem rozkładu geometrycznego dla wielu prób.

Rozkład Pascala

Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa Czerwona linia oznacza wartość oczekiwaną, a zielona ma w przybliżeniu długość 2σ.
Parametry	$r>0$ (liczba rzeczywista) $0<p<1$ (liczba rzeczywista) Poniższe wzory dotyczą wariantu opisującego liczbę sukcesów $k$ przed porażką $r.$ Inne parametryzacje opisują inne wzory.
Nośnik	$k\in \{0,1,2,\dots \}$
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa	${\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)}}\,p^{k}\,(1-p)^{r}$
Dystrybuanta	$I_{p}(r,k+1){\text{ gdzie }}I_{p}(x,y)$ jest regularyzowaną niekompletną funkcją Beta
Wartość oczekiwana (średnia)	${\frac {rp}{(1-p)}}$
Moda	$\lfloor (r-1)\,(1-p)/p\rfloor \iff r>1$ $0\iff r\leqslant 1$
Wariancja	$r\,{\frac {p}{(1-p)^{2}}}$
Współczynnik skośności	${\frac {1+p}{\sqrt {r\,p}}}$
Kurtoza	${\frac {6}{r}}+{\frac {(1-p)^{2}}{pr}}$
Entropia	${\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {2\pi erp}{(1-p)^{2}}}\right)+O\left({\frac {1}{r}}\right)$
Funkcja tworząca momenty	${\bigg (}{\frac {1-p}{1-pe^{t}}}{\bigg )}^{\!r}{\text{ przy }}t<-\log p$
Funkcja charakterystyczna	${\bigg (}{\frac {1-p}{1-pe^{i\,t}}}{\bigg )}^{\!r}{\text{ with }}t\in \mathbb {R}$

Termin „ujemny rozkład dwumianowy” nie jest w pełni usystematyzowany. Może dotyczyć jednego z kilku wariantów funkcji opisujących te same zmienne losowe z subtelnymi różnicami w parametryzacji – liczby prób, albo sukcesów lub porażek (czasem liczonych bez ostatniego), przy określonej wartości jednej z tych zmiennych. Momenty i inne charakterystyki poszczególnych wersji rozkładu różnią o proste transformacje. Nazwa „rozkład Pascala” opisuje z reguły warianty dla wartości całkowitych, liczonych bez ostatniego zdarzenia.

Wariant dla liczby sukcesów przed $r$ porażką

Rozważmy ciąg $X_{1},X_{2},\dots$ niezależnych prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu równym $p.$ Ustalmy liczbę $r.$ Obserwujemy ten ciąg do momentu stwierdzenia $r$-tej porażki. Oznaczmy ten moment przez $T.$ O zmiennej losowej $T-r$ mówimy, że ma ujemny rozkład dwumianowy NB(r,p) z parametrami $r$ oraz $p.$

Niech $X$ ma rozkład NB(r,p). Wtedy $X=k$ (gdzie $k=0,1,2,\dots$) jeśli w $r+k$-tym momencie zaszła porażka oraz w ciągu $X_{1},\dots ,X_{r+k-1}$ zaszło $r-1$ porażek. Zatem

$P(X=k)={\binom {r+k-1}{r-1}}(1-p)^{r-1}p^{(r+k-1)-(r-1)}(1-p),$

czyli

$P(X=k)={\binom {r+k-1}{r-1}}(1-p)^{r}p^{k}.$

Na rozkład ten można spojrzeć w następujący sposób: rozważamy ciąg niezależnych zmiennych $Y_{1},\dots ,Y_{r}$ o rozkładzie geometrycznym z parametrem sukcesu $1-p$ odpowiadające obserwacji naszego ciągu po porażce $r-1$ do porażki $r$ włącznie. Niech $Y=Y_{1}+\ldots +Y_{r}.$ Wtedy zmienna losowa $X=Y-r,$ zliczająca jedynie liczbę sukcesów, ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami $r$ oraz $p.$ Z tego otrzymujemy natychmiast wzór na wartość oczekiwaną zmiennej losowej o tym rozkładzie

$E(X)=r\cdot {\frac {1}{1-p}}-r={\frac {rp}{1-p}}.$

W podobny sposób można wyprowadzić wzór na wariancję.

Dla porównania, w trochę innej definicji ujemnego rozkładu dwumianowego, porażkę zastępuje się sukcesem oraz nie odejmuje się parametru $r$ od momentu zajścia $r$-tego sukcesu. Otrzymujemy wtedy zmienną losową $X$ o następujący rozkładzie

$P(X=k)={\binom {k-1}{r-1}}p^{r}(1-p)^{k-r},\quad k\geqslant r.$

Zmienna ta jest sumą r niezależnych zmiennych o rozkładzie geometrycznym z parametrem sukcesu $p.$

Inne warianty

Rozkład był prezentowany w literaturze na kilka różnych sposobów, z subtelnymi zmianami parametryzacji. Różnice w notacji dotyczą m.in. stosowania równoważności pomiędzy liczbą prób $n,$ sukcesów $k$ i porażek $r,$ np. $n=k+r,$ tego, czy nośnik zaczyna się od 0 czy 1, oraz z możliwości przedstawienia wzoru z użyciem różnych form symbolu Newtona, także z wykorzystaniem tożsamości kombinacji dopełniających:

${n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}={n \choose n-k}.$

Poniższa tabela przedstawia niektóre spotykane formy rozkładu.

$X$ zlicza:	Nośnik i funkcja rozkładu prawdopodobieństwa	Wzór
$k$ sukcesów, przy danych $r$ porażkach	dla $k\in \{0,1,2,\dots \}$$f(k;r,p)\equiv \Pr(X=k)=$	${\binom {k+r-1}{k}}p^{k}(1-p)^{r}$
		${\binom {k+r-1}{r-1}}p^{k}(1-p)^{r}$ (wariant opisany powyżej)
		${\binom {n-1}{k}}p^{k}(1-p)^{r}$
$n$ prób, przy danych $r$ porażkach	dla $n\in \{r,r+1,r+2,\dots \}$$f(n;r,p)\equiv \Pr(X=n)=$
		${\binom {n-1}{r-1}}p^{n-r}(1-p)^{r}$
		${\binom {n-1}{n-r}}p^{n-r}(1-p)^{r}$
$r$ porażek, przy danych $k$ sukcesach	dla $r\in \{0,1,2,\dots \}$$f(r;k,p)\equiv \Pr(X=r)=$	${\binom {k+r-1}{r}}p^{k}(1-p)^{r}$
		${\binom {k+r-1}{k-1}}p^{k}(1-p)^{r}$
		${\binom {n-1}{r}}p^{k}(1-p)^{r}$
$n$ prób, przy danych $k$ sukcesach	dla $n\in \{k,k+1,k+2,\dots \}$$f(n;k,p)\equiv \Pr(X=n)=$
		${\binom {n-1}{k-1}}p^{k}(1-p)^{n-k}$
		${\binom {n-1}{n-k}}p^{k}(1-p)^{n-k}$
$k$ sukcesów, przy danych $n$ próbach (rozkład dwumianowy – dla porównania)	dla $k\in \{0,1,2,\dots ,n\}$$f(k;n,p)\equiv \Pr(X=k)=$	${\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{r}$

Wzór można także rozszerzyć dla niecałkowitych wartości $r$ z użyciem funkcji gamma, np.:

${\begin{aligned}f(r,k,p)&={\frac {(k+r-1)!}{k!\;(r-1)!}}\;p^{r}\,(1-p)^{k}\\&={k+r-1 \choose r-1}\;p^{r}\,(1-p)^{k}\!\\&={\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)}}\,p^{r}\,(1-p)^{k}\end{aligned}}$

opisuje, jakie jest prawdopodobieństwo, że czas oczekiwania na $r$-ty sukces będzie wynosił $k+r.$

Bibliografia

• William Feller: Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa. Warszawa: PWN, 2007, s. 159–160. ISBN 978-83-01-14684-9.