Ideał prymarny
Ideał prymarny – dla danego pierścienia przemiennego ideał o tej własności, że
- jeżeli oraz to istnieje taka liczba naturalna że
Przykładem ideału prymarnego jest ideał generowany przez element gdzie jest dowolną liczbą naturalną, a jest elementem pierwszym. W pierścieniu liczb całkowitych wszystkie ideały prymarne są tej postaci (elementami pierwszymi tego pierścienia są po prostu liczby pierwsze). Istnieją mimo to pierścienie, w których ideały prymarne mają także inną postać. Na przykład jeżeli jest ciałem oraz oznacza pierścień wielomianów zmiennych i to ideał generowany przez wielomiany i jest prymarny w
![{\displaystyle k[X,Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e9173e6765e01fbc6eca12cce372cc3683121bf)
![{\displaystyle k[X,Y].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df723af46a1ebcd0f85e0c8e6292fccae36971f1)
Jeżeli jest ideałem, to zbiór ideałów prymarnych nazywany jest rozkładem prymarnym ideału gdy
Własności
edytuj- Każdy ideał pierwszy jest prymarny.
- Ideał jest prymarny wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy nie jest trywialny oraz każdy jego dzielnik zera jest nilpotentny.
- Jeżeli i są ideałami przy czym to jest prymarny w wtedy i tylko wtedy, gdy jest prymarny w
- Jeżeli jest ideałem maksymalnym w pierścieniu lokalnym, to
Twierdzenie Laskera-Noether
edytujTwierdzenie Laskera-Noether mówi, że
- każdy ideał pierścienia noetherowskiego ma rozkład prymarny.
Pierścienie, dla których zachodzi teza twierdzenia Laskera-Noether, nazywane są pierścieniami Laskera. Istnieją pierścienie Laskera, które nie są noetherowskie, tzn. rozkład prymarny ideału można przeprowadzić także w pierścieniach innych niż noetherowskie. Powyższe twierdzenie zostało udowodnione w szczególnym przypadku (dla pierścieni wielomianów) w 1905 roku przez Emanuela Laskera[1] oraz w pełnej ogólności, w 1921 roku, przez Emmy Noether[2].
Przypisy
edytuj- ↑ Emanuel Lasker, Zur Theorie der Moduln und Ideale, Mathematische Annalen, 60 (1905), 19–116.
- ↑ Emmy Noether, Idealtheorie in Ringbereichen, Mathematische Annalen, 83 (1921). 24– 66.
Bibliografia
edytuj- Douglas Northcott: Ideal theory. Wyd. 42. Cambridge: Cambridge University Press, 1953, s. 10–52, seria: Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics.
- Stanisław Balcerzyk: Wstęp do algebry homologicznej. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1970.