Funkcja jednorodna – funkcja o multiplikatywnym zachowaniu skalującym: jeżeli argument został pomnożony przez pewien współczynnik, to wynik zostanie pomnożony przez pewną potęgę tego współczynnika. Własności funkcji jednorodnych stopnia
n
{\displaystyle n}
używa się do rozwiązywania jednorodnych równań różniczkowych zwyczajnych . Pojęcie funkcji jednorodnej uogólnia się bez zmian na moduły nad pierścieniami , w tym grupy abelowe (czyli moduły nad pierścieniem liczb całkowitych ).
Niech
X
,
Y
{\displaystyle X,Y}
będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem
K
.
{\displaystyle K.}
Funkcja
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
nazwana zostanie jednorodną (stopnia 1), jeżeli dla dowolnych
a
∈
K
{\displaystyle a\in K}
oraz
x
∈
X
{\displaystyle \mathbf {x} \in X}
zachodzi
f
(
a
x
)
=
a
f
(
x
)
.
{\displaystyle f(a\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} ).}
Jeżeli dla
a
>
0
{\displaystyle a>0}
oraz
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
zachodzi wzór
f
(
a
x
)
=
a
n
f
(
x
)
,
{\displaystyle f(a\mathbf {x} )=a^{n}f(\mathbf {x} ),}
to funkcję
f
{\displaystyle f}
nazywa się jednorodną stopnia
n
{\displaystyle n}
Jeśli funkcja
f
{\displaystyle f}
spełnia dla każdego
x
∈
X
{\displaystyle \mathbf {x} \in X}
oraz
a
∈
K
,
{\displaystyle a\in K,}
gdzie
K
{\displaystyle K}
jest ciałem uporządkowanym , warunek
f
(
a
x
)
=
|
a
|
f
(
x
)
,
{\displaystyle f(a\mathbf {x} )=|a|f(\mathbf {x} ),}
to nazywa się ją dodatnio jednorodną .
Przykładem funkcji jednorodnej jest dowolne przekształcenie liniowe (wprost z definicji), np.
f
(
x
)
=
3
x
,
{\displaystyle f(\mathbf {x} )=3\mathbf {x} ,}
ponieważ
f
(
a
x
)
=
3
(
a
x
)
=
a
(
3
x
)
=
a
f
(
x
)
.
{\displaystyle f(a\mathbf {x} )=3(a\mathbf {x} )=a(3\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} ).}
Traktując wyznacznik
det
n
{\displaystyle \det \nolimits _{n}}
jako funkcję macierzy kwadratowych ustalonego stopnia
n
{\displaystyle n}
otrzymuje się
det
n
(
a
A
)
=
a
n
det
n
(
A
)
,
{\displaystyle \det \nolimits _{n}(a\mathbf {A} )=a^{n}\det \nolimits _{n}(\mathbf {A} ),}
gdzie
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
jest dowolną macierzą kwadratową stopnia
n
{\displaystyle n}
[a] .
Dla dowolnej normy
‖
⋅
‖
,
{\displaystyle \|{\cdot }\|,}
(a nawet półnormy ) wprost z definicji zachodzi tożsamość
‖
a
x
‖
=
|
a
|
‖
x
‖
.
{\displaystyle \|a\mathbf {x} \|=|a|\,\|\mathbf {x} \|.}
↑ Również dla
a
⩽
0
,
{\displaystyle a\leqslant 0,}
co wynika z
n
{\displaystyle n}
-liniowości wyznacznika
det
n
(
a
1
,
…
,
a
n
)
{\displaystyle \det \nolimits _{n}(\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{n})}
traktowanego jako funkcja
n
{\displaystyle n}
wektorów
a
1
,
…
,
a
n
{\displaystyle \mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{n}}
należących do przestrzeni liniowej wymiaru
n
.
{\displaystyle n.}