Grupa Prüfera

Grupa Prüfera, p-grupa Prüfera a. grupa p-quasicykliczna – dla ustalonej liczy pierwszej p, wyznaczona jednoznacznie (z dokładnością do izomorfizmu) grupa torsyjna, w której każdy niezerowy element ma p pierwiastków p-tego stopnia. Nazwa pojęcia odnosi się do nazwiska niemieckiego matematyka Heinza Prüfera.

  • p-grupa Prüfera może być reprezentowana jako podgrupa grupy okręgu jednostkowego jako zbiór wszystkich możliwych pierwiastków z jedynki stopnia przy przebiegającym wszystkie nieujemne liczby całkowite:
2-grupa Prüfera
  • Z drugiej strony p-grupę Prüfera można postrzegać jako p-podgrupę Sylowa grupy składającą się ze wszystkich elementów rzędu wyrażającego się jako potęga
  • Istnieje następująca prezentacja p-grupy Prüfera (w zapisie addytywnym):
  • p-grupa Prüfera jest jedyną (z dokładnością do izomorfizmu) nieskończoną p-grupą, która jest grupą lokalnie cykliczna (dowolny podzbiór skończony grupy generuje grupę cykliczną). Innymi słowy p-grupa jest p-grupą Prüfera wtedy i tylko wtedy, gdy jej każda podgrupa właściwa jest cykliczna oraz dla każdej liczby naturalnej istnieje w niej podgrupa rzędu
  • Jako -moduł p-grupa Prüfera jest modułem artinowskim, lecz nie noetherowskim; podobnie jako grupa: jest ona artinowska, ale nie noetherowska (podgrupy grupy abelowej są abelowe i pokrywają się z odpowiednimi podmodułami tej grupy traktowanej jako -moduł). Ten fakt może służyć jako kontrprzykład na to, iż nie każdy moduł artinowski jest zarazem noetherowski (choć każdy pierścień artinowski jest noetherowski).

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. D.L. Armacost, W.L. Armacost, On p-thetic groups, Pacific J. Math., 41, nr 2 (1972), s. 295–301.

BibliografiaEdytuj