Indeks Szlenka

Indeks Szlenka – w analizie funkcjonalnej, dla danej przestrzeni Banacha $X,$ liczba porządkowa, która w pewnym sensie mierzy, jak bardzo podobne są do siebie topologia wyznaczona przez normę i *-słaba topologia na domkniętej kuli jednostkowej przestrzeni sprzężonej $X^{*}.$

Pojęcie wprowadzone w 1968 roku przez Wiesława Szlenka w celu udowodnienia, że nie istnieje uniwersalna (refleksywna) przestrzeń Asplunda dla klasy wszystkich ośrodkowych, refleksywnych przestrzeni Banacha.

Konstrukcja

Niech $X$ będzie przestrzenią Asplunda (przestrzeń Banacha jest przestrzenią Asplunda wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń sprzężona do jej dowolnej ośrodkowej podprzestrzeni jest nadal ośrodkowa). Jeżeli $\varepsilon >0$ oraz $K$ jest *-słabo zwartym podzbiorem przestrzeni sprzężonej $X^{*},$ to niech

$B_{\varepsilon }^{0}=K.$

Przy użyciu indukcji pozaskończonej definiuje się kolejno zbiory $B_{\varepsilon }^{\alpha }.$ Jeżeli $\alpha =\beta +1,$ to

$B_{\varepsilon }^{\alpha }=B_{\varepsilon }^{\beta }\setminus \bigcup {\mathcal {K}},$

gdzie ${\mathcal {K}}$ jest rodziną wszystkich *-słabo otwartych podzbiorów $B_{\varepsilon }^{\beta }$ o średnicy nie przekraczającej $\varepsilon .$ W przypadku, gdy $\alpha$ jest liczbą graniczną definiuje się

$B_{\varepsilon }^{\alpha }=\bigcap _{\beta <\alpha }B_{\varepsilon }^{\beta }.$

Wszystkie zbiory zdefiniowane powyżej są *-słabo zwarte. Niech

${\mbox{Sz}}_{\varepsilon }(K)=\alpha ,$

gdzie $\alpha$ jest najmniejszą taką liczbą porządkową, że zbiór $B_{\varepsilon }^{\alpha }$ jest pusty. Definicja ta jest poprawna (tj. dla pewnej liczby $\alpha$ zbiór $B_{\varepsilon }^{\alpha }$ jest pusty) z uwagi na założenie, że $X$ jest przestrzenią Asplunda.

Indeks Szlenka zbioru $K$ definiuje się jako liczbę

${\mbox{Sz}}(K)=\sup _{\varepsilon >0}{\mbox{Sz}}_{\varepsilon }(K).$

W przypadku, gdy $K$ jest domkniętą kulą jednostkową przestrzeni $X^{*}$ (por. twierdzenie Banacha-Alaoglu), używa się notacji ${\mbox{Sz}}\,X$ i mówi się o indeksie Szlenka przestrzeni $X.$

Własności

• Jeżeli $Y$ jest przestrzenią Asplunda oraz przestrzeń $X$ zanurza się izomorficznie w przestrzeń $Y,$ to

${\mbox{Sz}}(X)\leqslant {\mbox{Sz}}(Y).$

• Jeżeli $\tau$ jest gęstością przestrzeni $X$ (minimalną mocą zbioru gęstego w $X$), to ${\mbox{Sz}}(X)<\tau ^{+},$ przy czym $\tau ^{+}$ oznacza najmniejszą liczbę kardynalną większą od $\tau .$
• Jeżeli $X$ jest przestrzenią Asplunda, to

${\mbox{Sz}}(X\oplus X)={\mbox{Sz}}(X)$.

• Jeżeli $X$ jest przestrzenią Asplunda, to istnieje taka liczba porządkowa $\alpha ,$ że ${\mbox{Sz}}(X)=\omega ^{\alpha }.$ W szczególności, jeżeli ${\mbox{Sz}}(X)<\omega _{1},$ to $\alpha <\omega _{1}.$
• Jeżeli $X$ jest taką przestrzenią Asplunda oraz ${\mbox{Sz}}\,X>\alpha$ dla pewnej przeliczalnej liczby porządkowej $\alpha ,$ to istnieje taka ośrodkowa domknięta podprzestrzeń $Y$ przestrzeni $X,$ że ${\mbox{Sz}}\,Y>\alpha$.

Przykłady

• Jeżeli $\alpha <\omega _{1},$ to przedział liczb porządkowych $[0,\omega ^{\omega ^{\alpha }}]$ z topologią porządkową jest zwartą przestrzenią metryzowalną oraz dla dowolnej pary różnych liczb $\alpha ,\beta <\omega _{1}$ przestrzenie $C([0,\omega ^{\omega ^{\alpha }}])$ i $C([0,\omega ^{\omega ^{\beta }}])$ nie są izomorficzne. Co więcej, mogą być one rozróżnianiane poprzez indeks Szlenka. Dokładniej:

${\mbox{Sz}}(C([0,\omega ^{\omega ^{\alpha }}]))=\omega ^{\alpha +1}$.

• Przestrzeń $C([0,\alpha ])$ jest przestrzenią Asplunda dla dowolnej liczby porządkowej. Jeżeli $\alpha \in [\omega _{1},\omega _{1}\cdot \omega ),$ to ponadto

${\mbox{Sz}}(C([0,\alpha ]))=\omega _{1}\cdot \omega =\omega ^{\omega _{1}+1}.$

Bibliografia

• J. Vanderwerff, P. Hájek, S.V. Montesinos, V. Zizler, Biorthogonal Systems in Banach Spaces, Springer-Verlag GmbH, Nowy Jork 2007, ISBN 0-387-68914-1. s. 62–85