Liczba Nováka

Liczba Nováka (albo liczba Baire’a) – dla przestrzeni T₁ w sobie gęstych, najmniejsza moc rodziny zbiorów nigdziegęstych, która pokrywa całą przestrzeń. Liczbę Nováka definiuje się również dla algebr Boole’a jako liczbę Nováka przestrzeni Stone’a danej algebry. Używając terminologii związanej z funkcjami kardynalnymi dla ideałów, liczba Nováka to współczynnik ${\mbox{cov}}({\mathcal {K}}),$ gdzie ${\mathcal {K}}$ jest ideałem zbiorów pierwszej kategorii w przestrzeni $X$ (por. diagram Cichonia). Liczba Nováka przestrzeni $X$ oznaczana jest symbolem $n(X).$ Przez słabą liczbę Nováka przestrzeni $T_{1}$ rozumie się najmniejszą moc rodziny zbiorów nigdziegęstych, która jest pokryciem gęstego podzbioru przestrzeni $X$. Słabą liczbę Nováka oznacza się symbolem $wn(X).$

Własności

• Twierdzenie Baire’a mówi, że liczba Nováka dowolnej przestrzeni zupełnej w sensie Čecha jest nieprzeliczalna. Zakładając dodatkowo aksjomat Martina można pokazać, że liczba Nováka przestrzeni zupełnej w sensie Čecha, która spełnia warunek przeliczalnych antyłańcuchów (jak na przykład każda przestrzeń polska) wynosi dokładnie continuum.
• Jeśli $\mathbb {R} ^{*}$ i $\mathbb {N} ^{*}$ oznaczają uzwarcenia Čecha-Stone przestrzeni, odpowiednio, $\mathbb {R}$ i $\mathbb {N} ,$ to $n(\mathbb {R} ^{*})\leqslant n(\mathbb {N} ^{*}).$ Wciąż otwartym problemem jest pytanie o to czy słabą nierówność można w tym wypadku zastąpić równością.

Bibliografia

• A. Bella, Some remarks on the Novak number, Proceedings of the 6th Prague Topological Symposium – General Topology and its Relations to Modern Analysis and Algebra VI – Z. Frolik ed., Heldermann Verlag, Berlin (1988), s. 43–48.