Rozkład Dirichleta

Rozkład Dirichleta – rodzina wielowymiarowych ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa, sparametryzowana z wykorzystaniem K-elementowego wektora ${\boldsymbol {\alpha }}$ dodatnich liczb rzeczywistych. Stanowi uogólnienie rozkładu beta dla zmiennej wielowymiarowej (wektora losowego).

Rozkład Dirichleta

Gęstość prawdopodobieństwa Kilka wykresów gęstości prawdopodobieństwa dla rozkładu Dirichleta, kiedy $K=3$ dla różnych parametrów wektorów $\alpha .$ Zgodnie z kierunkiem wskazówek zegara od górnego lewego: $\alpha ={}$(6; 2; 2), (3; 7; 5), (6; 2; 6), (2; 3; 4).
Parametry	$K\geqslant 2$ ilość kategorii (całkowitych) ${\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{K})$ parametry skupienia, gdzie $\alpha _{i}>0$
Nośnik	$x_{1},\dots ,x_{K}$ gdzie $x_{i}\in [0,1]$ oraz $\sum _{i=1}^{K}x_{i}=1$
Gęstość prawdopodobieństwa	${\frac {1}{\mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})}}\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1}$ gdzie $\mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})={\frac {\prod _{i=1}^{K}\Gamma (\alpha _{i})}{\Gamma {\big (}\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i}{\big )}}}$
Wartość oczekiwana (średnia)	$\operatorname {E} [X_{i}]={\frac {\alpha _{i}}{\sum _{k}\alpha _{k}}}$ $\operatorname {E} [\ln X_{i}]=\psi (\alpha _{i})-\psi (\textstyle \sum _{k}\alpha _{k})$ gdzie $\psi$ to funcja digamma, czyli pochodna logarytmiczna funkcji gamma
Moda	$x_{i}={\frac {\alpha _{i}-1}{\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i}-K}},\quad \alpha _{i}>1.$
Wariancja	$\mathrm {Var} [X_{i}]={\frac {\alpha _{i}(\alpha _{0}-\alpha _{i})}{\alpha _{0}^{2}(\alpha _{0}+1)}},$ gdzie $\alpha _{0}=\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i}$ $\mathrm {Cov} [X_{i},X_{j}]={\frac {-\alpha _{i}\alpha _{j}}{\alpha _{0}^{2}(\alpha _{0}+1)}}~~(i\neq j)$
Entropia	$H(X)=\log \mathrm {B} (\alpha )+(\alpha _{0}-K)\psi (\alpha _{0})-\sum _{j=1}^{K}(\alpha _{j}-1)\psi (\alpha _{j})$

Rozkład Dirichleta jest często wykorzystywany w statystyce bayesowskiej jako rozkład aprioryczny i faktycznie rozkład Dirichleta jest rozkładem sprzężonym rozkładu wielopunktowego i rozkładu wielomianowego. W efekcie funkcja rozkładu zwraca przekonanie, że prawdopodobieństwo $K$ możliwych zdarzeń losowych wynosi $x_{i},$ biorąc pod uwagę, że każde zdarzenie zostało zaobserwowane $\alpha _{i}-1$ razy.

Wielowymiarowym uogólnieniem rozkładu Dirichleta jest proces Dirichleta.

Definicja formalna

Wykres ilustruje jak zmienia się logarytm funkcji rozkładu kiedy $K=3$ i zmieniany jest wektor $\alpha$ od $\alpha ={}$(0,3, 0,3, 0,3) do (2,0, 2,0, 2,0), zachowując wszystkie $\alpha _{i}$ równe sobie nawzajem.

Rozkład Dirichleta rzędu $K\geqslant 2$ z parametrami $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{K}>0$ ma funkcję rozkładu prawdopodobieństwa w mierze Lebesgue’a dla przestrzeni euklidesowej $\mathrm {R} ^{K-1}$ określoną zależnością:

$f(x_{1},\dots ,x_{K-1};\alpha _{1},\dots ,\alpha _{K})={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha )}}\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1},$

na otwartym zbiorze $(K{-}1)$-wymiarowego sympleksu określonego jako:

${\begin{aligned}&x_{1},\dots ,x_{K-1}>0\\&x_{1}+\ldots +x_{K-1}<1\\&x_{K}=1-x_{1}-\ldots -x_{K-1}\end{aligned}}$

oraz zero poza.

Stałą normalizującą jest wielomianowa funkcja B, którą można wyrazić w zależności od funkcji gamma:

$\mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})={\frac {\prod _{i=1}^{K}\Gamma (\alpha _{i})}{\Gamma \left(\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i}\right)}},\qquad {\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{K}).$

Nośnik

Nośnikiem rozkładu Dirichleta jest zbiór $K$-wymiarowych wektorów ${\boldsymbol {x}}$ określonych liczbami rzeczywistymi w zakresie (0,1), tak więc $\|{\boldsymbol {x}}\|_{1}=1,$ co znaczy, że suma wszystkich składowych jest 1. Mogą być one przedstawiane jako prawdopodobieństwa $K$-wymiarowego zdarzenia. Należy zauważyć, iż w praktyce zbiór punktów w nośnika dla $K$-wymiarowego rozkładu Dirichleta jest zamkniętym zbiorem $(K{-}1)$-sympleksów, znajdujących się w przestrzeni $K$-wymiarowej. Przykładowo dla $K=3$ jest to trójkąt równoboczny zawarty w trójwymiarowej przestrzeni z wierzchołkami (1;0;0), (0;1;0) oraz (0;0;1), „dotykający” każdej z osi w odległości 1 od początku układu współrzędnych.

Zobacz też

• rozkład dwumianowy
• rozkład normalny

Linki zewnętrzne

• „Statystyka w ujęciu Bayesowskim” na UPGOW
• Niemiro, W. „Symulacje stochastyczne i metody Monte Carlo”, skrypt dla studentów MIMUW