Rozkład beta

Rozkład beta – rodzina ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa zadana za pomocą funkcji gęstości

Rozkład beta

Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Parametry	$\alpha >0$ parametr kształtu (liczba rzeczywista) $\beta >0$ parametr kształtu (liczba rzeczywista)
Nośnik	$x\in [0;1]$
Gęstość prawdopodobieństwa	${\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}$
Dystrybuanta	$I_{x}(\alpha ,\beta )$
Wartość oczekiwana (średnia)	${\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}$
Moda	${\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}$   dla   $\alpha >1,\beta >1$
Wariancja	${\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}$
Współczynnik skośności	${\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}$
Kurtoza	$6\,{\tfrac {\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta (\beta +2)}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}.$
Entropia	$\ln \mathrm {B} (\alpha ,\beta )$$-(\alpha -1)\psi (\alpha )$$-(\beta -1)\psi (\beta )$$+(\alpha +\beta -2)\psi (\alpha +\beta )$
Funkcja tworząca momenty	$1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}$
Funkcja charakterystyczna	${}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)$
Odkrywca	Corrado Gini (1911)

$f(\alpha ,\beta ,x)=c_{\alpha ,\beta }\cdot x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1},$

gdzie:

$x$ – zmienna, $x\in [0,1];$ $\alpha ,\beta >0$ – parametry rozkładu, tzw. parametry kształtu,

$c_{\alpha ,\beta }$ – stała zależna od $\alpha$ i $\beta ,$ normująca rozkład do 1, tj.

$c_{\alpha ,\beta }={\frac {1}{\int \limits _{0}^{1}~u^{\alpha -1}(1-u)^{\beta -1}\,du}}$$=\!{\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}$$={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}},$

gdzie:

$\mathrm {B}$ – funkcja beta,

$\Gamma$ – funkcja gamma.

Gdy $\alpha =\beta =1,$ to rozkład beta przyjmuje postać rozkładu jednostajnego.

Momenty zwykłe zmiennej o rozkładzie beta wynoszą:

$\mathbb {E} (X^{k})={\frac {\alpha (\alpha +1)\dots (\alpha +k-1)}{(\alpha +\beta )(\alpha +\beta +1)\dots (\alpha +\beta +k-1)}}.$

Właściwości

Miary tendencji centralnej

Średnia

Wartość oczekiwana rozkładu beta jest funkcją stosunku parametrów $\alpha$ i $\beta$:

${\begin{aligned}\mu =\operatorname {E} [X]&=\int _{0}^{1}xf(x;\alpha ,\beta )\,dx\\&=\int _{0}^{1}x\,{\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,dx\\&={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\\&={\frac {1}{1+{\frac {\beta }{\alpha }}}}.\end{aligned}}$

Jeśli oba parametry są równe, $\alpha =\beta ,$ rozkład jest symetryczny ze średnią $\mu ={\frac {1}{2}}.$ Wraz z dążeniem proporcji parametrów $\alpha$ i $\beta$ do wartości nieskończonych lub nieskończenie małych, rozkład staje się prawo- lub lewoskośny, ze średnią dążącą do granic przedziału $[0,1]{:}$

$\lim _{{\frac {\beta }{\alpha }}\to 0}\mu =1$

$\lim _{{\frac {\beta }{\alpha }}\to \infty }\mu =0.$

Dominanta

Maksimum lub minimum rozkładu beta wyraża funkcja:

${\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}.$

Jeśli oba parametry są mniejsze od zera, $\alpha ,\beta <0,$ wartość funkcji wyznacza minimum rozkładu.

Miary rozproszenia

Wariancja

Wariancję rozkładu beta określa funkcja parametrów $\alpha$ i $\beta$:

$\operatorname {var} (X)=\operatorname {E} [(X-\mu )^{2}]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}.$

Wraz z dążeniem parametrów do zera, $\alpha =\beta =0,$ rozkład dąży do maksymalnej możliwej wariancji $\operatorname {var} (X)={\frac {1}{4}}.$ Przy $\alpha =\beta =1,$ rozkład jest jednostajny o typowej dla niego wariancji równej $\operatorname {var} (X)={\frac {1}{12}}.$ Wraz z dążeniem jednego lub obu parametrów do nieskończoności, wariancja dąży do zera.

Bibliografia

• Rozkład po raz pierwszy wprowadzony w pracy:

Corrado Gini: Considerazioni sulle probabilita a posteriori e applicazioni al rapporto dei sessi nelle nascite umane. Studi Economico-Giuridici della Universita de Cagliari, Anno III, 1911, s. 133–171.