Rozkład beta – rodzina ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa zadana za pomocą funkcji gęstości
Rozkład beta
Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Parametry
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
parametr kształtu (liczba rzeczywista )
β
>
0
{\displaystyle \beta >0}
Nośnik
x
∈
[
0
;
1
]
{\displaystyle x\in [0;1]}
Gęstość prawdopodobieństwa
x
α
−
1
(
1
−
x
)
β
−
1
B
(
α
,
β
)
{\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}
Dystrybuanta
I
x
(
α
,
β
)
{\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}
[a]
Wartość oczekiwana (średnia)
α
α
+
β
{\displaystyle {\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}}
Moda
α
−
1
α
+
β
−
2
{\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}}
α
>
1
,
β
>
1
{\displaystyle \alpha >1,\beta >1}
Wariancja
α
β
(
α
+
β
)
2
(
α
+
β
+
1
)
{\displaystyle {\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}}
Współczynnik skośności
2
(
β
−
α
)
α
+
β
+
1
(
α
+
β
+
2
)
α
β
{\displaystyle {\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}}
Kurtoza
6
α
3
−
α
2
(
2
β
−
1
)
+
β
2
(
β
+
1
)
−
2
α
β
(
β
+
2
)
α
β
(
α
+
β
+
2
)
(
α
+
β
+
3
)
.
{\displaystyle 6\,{\tfrac {\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta (\beta +2)}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}.}
Entropia
ln
B
(
α
,
β
)
{\displaystyle \ln \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}
−
(
α
−
1
)
ψ
(
α
)
{\displaystyle -(\alpha -1)\psi (\alpha )}
−
(
β
−
1
)
ψ
(
β
)
{\displaystyle -(\beta -1)\psi (\beta )}
+
(
α
+
β
−
2
)
ψ
(
α
+
β
)
{\displaystyle +(\alpha +\beta -2)\psi (\alpha +\beta )}
Funkcja tworząca momenty
1
+
∑
k
=
1
∞
(
∏
r
=
0
k
−
1
α
+
r
α
+
β
+
r
)
t
k
k
!
{\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}}
Funkcja charakterystyczna
1
F
1
(
α
;
α
+
β
;
i
t
)
{\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)}
Odkrywca
Corrado Gini (1911 )
f
(
α
,
β
,
x
)
=
c
α
,
β
⋅
x
α
−
1
(
1
−
x
)
β
−
1
,
{\displaystyle f(\alpha ,\beta ,x)=c_{\alpha ,\beta }\cdot x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1},}
gdzie:
x
{\displaystyle x}
x
∈
[
0
,
1
]
;
{\displaystyle x\in [0,1];}
α
,
β
>
0
{\displaystyle \alpha ,\beta >0}
parametry kształtu
c
α
,
β
{\displaystyle c_{\alpha ,\beta }}
stała zależna od
α
{\displaystyle \alpha }
β
,
{\displaystyle \beta ,}
c
α
,
β
=
1
∫
0
1
u
α
−
1
(
1
−
u
)
β
−
1
d
u
{\displaystyle c_{\alpha ,\beta }={\frac {1}{\int \limits _{0}^{1}~u^{\alpha -1}(1-u)^{\beta -1}\,du}}}
=
1
B
(
α
,
β
)
{\displaystyle =\!{\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}
=
Γ
(
α
+
β
)
Γ
(
α
)
Γ
(
β
)
,
{\displaystyle ={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}},}
gdzie:
B
{\displaystyle \mathrm {B} }
funkcja beta ,
Γ
{\displaystyle \Gamma }
funkcja gamma .Gdy
α
=
β
=
1
,
{\displaystyle \alpha =\beta =1,}
rozkładu jednostajnego .
Momenty zwykłe zmiennej o rozkładzie beta wynoszą:
E
(
X
k
)
=
α
(
α
+
1
)
…
(
α
+
k
−
1
)
(
α
+
β
)
(
α
+
β
+
1
)
…
(
α
+
β
+
k
−
1
)
.
{\displaystyle \mathbb {E} (X^{k})={\frac {\alpha (\alpha +1)\dots (\alpha +k-1)}{(\alpha +\beta )(\alpha +\beta +1)\dots (\alpha +\beta +k-1)}}.}
Miary tendencji centralnej
edytuj
Wartość oczekiwana rozkładu beta jest funkcją stosunku parametrów
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
[1]
μ
=
E
[
X
]
=
∫
0
1
x
f
(
x
;
α
,
β
)
d
x
=
∫
0
1
x
x
α
−
1
(
1
−
x
)
β
−
1
B
(
α
,
β
)
d
x
=
α
α
+
β
=
1
1
+
β
α
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mu =\operatorname {E} [X]&=\int _{0}^{1}xf(x;\alpha ,\beta )\,dx\\&=\int _{0}^{1}x\,{\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,dx\\&={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\\&={\frac {1}{1+{\frac {\beta }{\alpha }}}}.\end{aligned}}}
Jeśli oba parametry są równe,
α
=
β
,
{\displaystyle \alpha =\beta ,}
μ
=
1
2
.
{\displaystyle \mu ={\frac {1}{2}}.}
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
[
0
,
1
]
:
{\displaystyle [0,1]{:}}
lim
β
α
→
0
μ
=
1
{\displaystyle \lim _{{\frac {\beta }{\alpha }}\to 0}\mu =1}
lim
β
α
→
∞
μ
=
0.
{\displaystyle \lim _{{\frac {\beta }{\alpha }}\to \infty }\mu =0.}
Maksimum lub minimum rozkładu beta wyraża funkcja[1]
α
−
1
α
+
β
−
2
.
{\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}.}
Jeśli oba parametry są mniejsze od zera,
α
,
β
<
0
,
{\displaystyle \alpha ,\beta <0,}
Wariancję rozkładu beta określa funkcja parametrów
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
[1]
var
(
X
)
=
E
[
(
X
−
μ
)
2
]
=
α
β
(
α
+
β
)
2
(
α
+
β
+
1
)
.
{\displaystyle \operatorname {var} (X)=\operatorname {E} [(X-\mu )^{2}]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}.}
Wraz z dążeniem parametrów do zera,
α
=
β
=
0
,
{\displaystyle \alpha =\beta =0,}
var
(
X
)
=
1
4
.
{\displaystyle \operatorname {var} (X)={\frac {1}{4}}.}
α
=
β
=
1
,
{\displaystyle \alpha =\beta =1,}
jednostajny o typowej dla niego wariancji równej
var
(
X
)
=
1
12
.
{\displaystyle \operatorname {var} (X)={\frac {1}{12}}.}
↑
I
x
(
a
,
b
)
=
B
(
x
;
a
,
b
)
B
(
a
,
b
)
,
{\displaystyle I_{x}(a,b)={\frac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}},}
B
(
x
;
a
,
b
)
=
∫
0
x
t
a
−
1
(
1
−
t
)
b
−
1
d
t
{\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,\mathrm {d} t}
Rozkład po raz pierwszy wprowadzony w pracy: Corrado Gini: Considerazioni sulle probabilita a posteriori e applicazioni al rapporto dei sessi nelle nascite umane . Studi Economico-Giuridici della Universita de Cagliari, Anno III, 1911, s. 133–171. 
![{\displaystyle x\in [0;1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/745b7ffd7926726b5eab739912ec7e702d9fed96)
![{\displaystyle x\in [0,1];}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb3d7ddb668bc2be7edfa24a90c7bd4047db50df)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mu =\operatorname {E} [X]&=\int _{0}^{1}xf(x;\alpha ,\beta )\,dx\\&=\int _{0}^{1}x\,{\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,dx\\&={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\\&={\frac {1}{1+{\frac {\beta }{\alpha }}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c01f17c920a90ad971a083ad32230d7cc658450)
![{\displaystyle [0,1]{:}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d02a400c2c0dcc495595056e687125247396d9fe)
![{\displaystyle \operatorname {var} (X)=\operatorname {E} [(X-\mu )^{2}]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a729ec4914a12b56baeed110f088864ad1dccdf7)
