Rozkład beta

Rozkład beta – rodzina ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa zadana za pomocą funkcji gęstości

Rozkład beta
Gęstość prawdopodobieństwa
Ilustracja
Dystrybuanta
Ilustracja
Parametry parametr kształtu (liczba rzeczywista)
parametr kształtu (liczba rzeczywista)
Nośnik
Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta [a]
Wartość oczekiwana (średnia)
Moda    dla  
Wariancja
Współczynnik skośności
Kurtoza
Entropia
Funkcja tworząca momenty
Funkcja charakterystyczna
Odkrywca Corrado Gini (1911)

gdzie:

– zmienna, – parametry rozkładu, tzw. parametry kształtu,
stała zależna od i normująca rozkład do 1, tj.

gdzie:

funkcja beta,
funkcja gamma.

Gdy to rozkład beta przyjmuje postać rozkładu jednostajnego.

Momenty zwykłe zmiennej o rozkładzie beta wynoszą:

WłaściwościEdytuj

Miary tendencji centralnejEdytuj

ŚredniaEdytuj

Wartość oczekiwana rozkładu beta jest funkcją stosunku parametrów   i  [1]:

 

Jeśli oba parametry są równe,   rozkład jest symetryczny ze średnią   Wraz z dążeniem proporcji parametrów   i   do wartości nieskończonych lub nieskończenie małych, rozkład staje się prawo- lub lewoskośny, ze średnią dążącą do granic przedziału  

 
 

DominantaEdytuj

Maksimum lub minimum rozkładu beta wyraża funkcja[1]:

 

Jeśli oba parametry są mniejsze od zera,   wartość funkcji wyznacza minimum rozkładu.

Miary rozproszeniaEdytuj

WariancjaEdytuj

Wariancję rozkładu beta określa funkcja parametrów   i  [1]:

 

Wraz z dążeniem parametrów do zera,   rozkład dąży do maksymalnej możliwej wariancji   Przy   rozkład jest jednostajny o typowej dla niego wariancji równej   Wraz z dążeniem jednego lub obu parametrów do nieskończoności, wariancja dąży do zera.

UwagiEdytuj

  1.  
    gdzie:
        –   niekompletna funkcja beta.

PrzypisyEdytuj

  1. a b c Chapter 21: Beta Distributions, [w:] Kotz i inni, Continuous univariate distributions, Wiley, 1995, ISBN 978-0-471-58494-0, OCLC 29428092.

BibliografiaEdytuj

  • Rozkład po raz pierwszy wprowadzony w pracy:
Corrado Gini: Considerazioni sulle probabilita a posteriori e applicazioni al rapporto dei sessi nelle nascite umane. Studi Economico-Giuridici della Universita de Cagliari, Anno III, 1911, s. 133–171.