Baza standardowa

Baza standardowa (również baza naturalna lub baza kanoniczna) – zbiór wektorów jednostkowych przestrzeni euklidesowej wskazujących każdą z osi układu współrzędnych kartezjańskich.

Każdy trójwymiarowy wektor a jest kombinacją liniową wektorów bazy standardowej i, j oraz k.

Przykładowo bazą standardową płaszczyzny euklidesowej są wektory

$\mathbf {e} _{x}=(1,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1),$

a bazą standardową trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej są wektory

$\mathbf {e} _{x}=(1,0,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1,0),\quad \mathbf {e} _{z}=(0,0,1).$

Powyższe wektory $\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}$ wskazują odpowiednio kierunki osi $x,y,z.$ Istnieje kilka popularnych notacji tych wektorów, a wśród nich

$\{\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}\},$

$\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\},$

$\{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \},$

$\{\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \}.$

Czasami wektory te zapisywane są z daszkiem, aby uwypuklić fakt jednostkowości tych wektorów.

Wspomniane wektory stanowią bazę w tym sensie, iż każdy inny wektor może być przedstawiony jednoznacznie jako ich kombinacja liniowa. Na przykład każdy wektor $\mathbf {v}$ przestrzeni trójwymiarowej może być zapisany jako

$v_{x}\,\mathbf {e} _{x}+v_{y}\,\mathbf {e} _{y}+v_{z}\,\mathbf {e} _{z},$

gdzie skalary $v_{x},v_{y},v_{z}$ są składowymi wektora $\mathbf {v} .$

W $n$-wymiarowej przestrzeni euklidesowej istnieje $n$ różnych wektorów bazy standardowej

$\{\mathbf {e} _{i}:i=1,\dots ,n\},$

gdzie $\mathbf {e} _{i}$ oznacza wektor z $1$ na $i$-tej współrzędnej i $0$ wszędzie indziej.

Własności

Z definicji baza standardowa jest ciągiem ortogonalnych wektorów jednostkowych. Innymi słowy jest to baza uporządkowana i ortonormalna.

Jednakże uporządkowana baza ortonormalna nie musi być bazą standardową, np. wektory

$\mathbf {e} _{1}=\left({\tfrac {\sqrt {3}}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)$

$\mathbf {e} _{2}=\left({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\right)$

są jednostkowe i ortogonalne, ale baza ortonormalna, którą tworzą, nie spełnia definicji bazy standardowej.

Uogólnienia

Istnieje również baza standardowa pierścieni wielomianów $n$ zmiennych nad ciałem, mianowicie baza jednomianów.

Wszystkie poprzednie bazy były przypadkami szczególnymi rodziny

$(e_{i})_{i\in I}=((\delta _{ij})_{j\in I})_{i\in I},$

gdzie $I$ jest dowolnym zbiorem, a $\delta _{ij}$ to symbol Kroneckera, równy zeru, jeżeli $i\neq j$ i równy jedności, jeśli $i=j.$ Rodzina ta jest bazą kanoniczną $R$-modułu (modułu wolnego) $R^{(I)}$ wszystkich rodzin $f=(f_{i})$ z $I$ w pierścień $R,$ które są zerami z wyjątkiem skończonej liczby współczynników, jeżeli przyjmie się, że $1$ to $1_{R},$ czyli jedność w $R.$

Inne

Istnienie innych baz standardowych stało się obiektem zainteresowań geometrii algebraicznej, poczynając od pracy Hodge’a z 1943 dotyczącej grassmannianów. Dziś jest to część teorii reprezentacji nazywanej teorią jednomianów standardowych. Ideę bazy standardowej w uniwersalnej algebrze obwiedniej (ang. universal enveloping algebra) algebry Liego uzyskuje się na mocy twierdzenia Poincarégo-Birkhoffa-Witta.

Bazą standardową nazywa się też czasami bazę Gröbnera.

Zobacz też

• uogólniona przestrzeń współrzędnych

Bibliografia

• Patrick J. Ryan: Euclidean and non-Euclidean geometry: an analytical approach. Cambridge; New York: Cambridge University Press, 1986, s. 198. ISBN 0-521-27635-7.
• Philip J. Schneider, David H. Eberly: Geometric tools for computer graphics. Amsterdam; Boston: Morgan Kaufmann Publishers, 2003, s. 112. ISBN 1-55860-594-0.