Norma macierzowa

Norma macierzowa – naturalny odpowiednik normy wektorowej dla macierzy.

Definicje formalneEdytuj

Niech   oznacza przestrzeń macierzy kwadratowych stopnia   nad ciałem   liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Normą macierzową nazywa się normę określoną na   spełniającą dodatkowo warunek podmultiplikatywności,

 

dla dowolnych macierzy   Przestrzeń macierzy z normą macierzową jest algebrą Banacha. Niekiedy wyrażenie norma macierzowa oznacza dowolne normy macierzy, a nie tylko spełniające powyższy warunek. W szczególności normą macierzową jest wartość bezwzględna albo moduł macierzy (spełnia ona aksjomaty normy i podmultiplikatywności) dane wzorem

 

gdzie   oznacza wzięcie wartości bezwzględnych (modułów) elementów macierzy.

Niekiedy pierwszy aksjomat normy macierzowej podaje się w formie

  oraz   wtedy i tylko wtedy, gdy  

Normę nazywa się kanoniczną, jeżeli spełnia ona dodatkowo warunki

  •   przy czym dla   jest  
  •   pociąga   w szczególności  

Normy indukowaneEdytuj

Jeżeli dane są normy   odpowiednio na przestrzeniach współrzędnych   oraz   gdzie   to normę indukowaną lub normę operatorową na przestrzeni macierzy typu   definiuje się jednym z równoważnych wzorów

 

Jeżeli   i w dziedzinie oraz przeciwdziedzinie występuje ta sama norma, to indukowana norma operatorowa jest normą macierzową (tzn. jest podmultiplikatywna).

PrzykładyEdytuj

Przykładowo norma operatorowa odpowiadająca  -normie wektorowej to

 

W szczególności normy

 
 

są uogólnieniem pierwszej normy wektorowej oraz normy „nieskończoność”.

Norma spektralna i promień spektralnyEdytuj

Normę

  gdzie   oznacza macierz hermitowską (transponowaną dla macierzy o współczynnikach rzeczywistych)

gdzie   jest widmem (spektrum) macierzy   nazywa się normą spektralną.

Dla dowolnej normy indukowanej   zachodzi oszacowanie

 

gdzie   jest promieniem spektralnym  

co więcej,

 

Normy „po współrzędnych”Edytuj

W normach tego rodzaju macierze traktowane są jako wektory typu   do których zastosowano jedne z dobrze znanych norm wektorowych.

Przykładowo korzystając z  -normy wektorowej dostaje się

 

Choć normy te mają to samo oznaczenie, różnią się od wyżej zdefiniowanych  -norm indukowanych (zob. wyżej) oraz  -norm Schattena (zob. niżej).

Szczególnymi przypadkami dla   jest norma Frobeniusa, a dla   norma maksimum.

Norma FrobeniusaEdytuj

Bezpośrednie uogólnienie normy euklidesowej. Norma Frobeniusa lub norma Hilberta-Schmidta (drugi termin odnosi się zwykle do operatorów określonych na przestrzeniach Hilberta) definiowana jest według wzoru

 

gdzie   jest śladem macierzy   a sumowanie przebiega po wszystkich kombinacjach   a   oznacza sprzężenie hermitowskie macierzy (transpozycję jej trywialnego sprzężenia).

Nazwa pochodzi od nazwiska Ferdinanda Georga Frobeniusa, matematyka niemieckiego. Norma ta jest bezpośrednim uogólnieniem normy euklidesowej wektorów, czyli macierzy jednokolumnowych.

Norma maksimumEdytuj

Norma maksimum to norma brana „po współrzędnych” dla  

 

Norma ta nie jest podmultiplikatywna.

Normy SchattenaEdytuj

Osobny artykuł: norma Schattena.

Zobacz teżEdytuj