Funkcja Möbiusa

Funkcja Möbiusa, funkcja $\mu$ – funkcja arytmetyczna określona przez Augusta Ferdynanda Möbiusa w 1831 roku i zdefiniowana w następujący sposób:

• $\mu (1)=1$,
• $\mu (n)=0$, jeśli liczba $n$ jest podzielna przez kwadrat liczby pierwszej (jest kwadratowa),
• $\mu (n)=(-1)^{k}$, jeśli liczba $n$ jest iloczynem $k$ parami różnych liczb pierwszych (jest bezkwadratowa).

Wykres wartości funkcji Möbiusa dla $n<50$

Funkcja $\mu$ wykorzystywana jest często w elementarniej i analitycznej teorii liczb. Występuje w twierdzeniu Möbiusa o odwracaniu.

Wartości

Wartości funkcji Möbiusa dla małych $n$ (ciąg A008683 w OEIS):

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$	$20$
$\mu (n)$	$1$	$-1$	$-1$	$0$	$-1$	$1$	$-1$	$0$	$0$	$1$	$-1$	$0$	$-1$	$1$	$1$	$0$	$-1$	$0$	$-1$	$0$

Oto sekwencje liczb odpowiadające konkretnym wartościom funkcji Möbiusa:

$\mu (n)=-1$ (A030059 w OEIS)	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 30, 31,...
$\mu (n)=0$ (A013929 w OEIS)	4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32,...
$\mu (n)=1$ (A030229 w OEIS)	1, 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35,...

Własności

Funkcja Möbiusa jest funkcją multiplikatywną co oznacza, że

$\mu (a)\cdot \mu (b)=\mu (ab)$,

jeśli $a$ i $b$ są liczbami względnie pierwszymi. Nie jest jednak funkcją całkowicie multiplikatywną.

Dla dowolnej liczby całkowitej $n$ zachodzi

$\sum _{d|n}\mu (d)={\begin{cases}1&{\text{ gdy }}n=1\\0&{\text{ gdy }}n>1,\end{cases}}$

gdzie ${\textstyle \sum _{d|n}}$ oznacza sumę po wszystkich dodatnich dzielnikach liczby $n$. Fakt ten wykorzystywany jest chociażby w konstrukcji sita Selberga.

Funkcja zeta Riemanna

Funkcja Möbiusa spełnia równości opisujące funkcję zeta Riemanna na półpłaszczyźnie zespolonej. Dla każdej liczby zespolonej $s$ o części rzeczywistej $\Re (s)>1$ zachodzi równość

${\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}$.

Można ją wywnioskować z iloczynu Eulera funkcji zeta,

$\zeta (s)=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)^{-1}$

zbieżnego na tej półpłaszczyźnie.

Ponadto

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)^{2}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}$.

Szeregi

Funkcja $\mu$ występuje w następujących szeregach zbieżnych:

• $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}=0$, co jest równoważne z twierdzeniem o liczbach pierwszych,
• $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\log n}{n}}=-1$, gdzie $\log$ to logarytm naturalny,
• $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)(\log n)^{2}}{n}}=-2\gamma$, gdzie $\gamma$ jest stałą Eulera-Masheroniego.

Szeregiem Lamberta funkcji Möbiusa jest szereg

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=q$,

który jest zbieżny dla $|q|<1$. Dodatkowo, dla dowolnej liczby pierwszej $p\geqslant 2$ zachodzi

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (pn)q^{n}}{q^{n}-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{p^{n}}$

również dla $|q|<1$.

Związek z funkcjami trygonometrycznymi

Spójrzmy na ciąg ułamków

${\frac {1}{42}},\qquad {\frac {2}{42}},\qquad {\frac {3}{42}},\qquad \dots ,\qquad {\frac {39}{42}},\qquad {\frac {40}{42}},\qquad {\frac {41}{42}}.$

Wybierzmy z niego tylko ułamki, których NWD licznika i mianownika jest równe 1:

${\frac {1}{42}},\qquad {\frac {5}{42}},\qquad {\frac {11}{42}},\qquad \dots ,\qquad {\frac {31}{42}},\qquad {\frac {37}{42}},\qquad {\frac {41}{42}}.$

Utwórzmy sumę:

$\cos \left(2\pi \cdot {\frac {1}{42}}\right)+\cos \left(2\pi \cdot {\frac {5}{42}}\right)+\ldots +\cos \left(2\pi \cdot {\frac {37}{42}}\right)+\cos \left(2\pi \cdot {\frac {41}{42}}\right).$

Jej wartość jest równa −1. Wynika to z faktu, że 42 ma nieparzystą liczbę dzielników pierwszych i jest liczbą bezkwadratową: 42 = 2 × 3 × 7. (Jeżeli liczba bezkwadratowa miałaby parzystą liczbę dzielników pierwszych wówczas suma równałaby się 1; jeżeli liczba byłaby podzielna przez kwadrat liczby całkowitej wówczas suma wynosiłaby 0; suma jest równa wartości funkcji Möbiusa dla 42.) Ogólnie

$\sum _{1\leqslant x<n,\operatorname {NWD} (x,n)=1}\cos \left(2\pi \cdot {\frac {x}{n}}\right)=\mu (n).$

Funkcja Mertensa

W teorii liczb inną funkcją zdefiniowaną przy pomocy funkcji Möbiusa, mającą duże znaczenie jest funkcja Mertensa

$M(x)=\sum _{n\leqslant x}\mu (n)$.

Zależność $M(x)=o(x)$ jest równoważna z twierdzeniem o liczbach pierwszych, a ${\textstyle M(x)=O\left(x^{{\frac {1}{2}}+\epsilon }\right)}$ - z hipotezą Riemanna.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Möbius Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).