Płaszczyzna Niemyckiego

Płaszczyzna Niemyckiego – przykład przestrzeni topologicznej szeroko wykorzystywany jako kontrprzykład w wielu pytaniach dotyczących topologii ogólnej. Konstrukcja płaszczyzny Niemcykiego pojawiła się w książce Topologie I Pawła Aleksandrowa i Heinza Hopfa z roku 1935. Autorzy sam pomysł przykładu przypisują Wiktorowi Niemyckiemu.

Konstrukcja

Niech $L$ będzie górną półpłaszczyzną zawierającą oś odciętych, tzn. niech

$L=\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:x_{2}\geqslant 0\}.$

W zbiorze $L$ można wprowadzić topologię $\tau _{N}$ poprzez określenie bazy otoczeń ${\mathcal {B}}(\mathbf {x} )$ każdego punktu $\mathbf {x} \in L{:}$

• jeśli $\mathbf {x} =(x_{1},x_{2})\in L$ i $x_{2}>0,$ to niech

${\mathcal {B}}(\mathbf {x} )=\{V(\mathbf {x} ,i):i=1,2,3,\dots \},$ gdzie $V(\mathbf {x} ,i)=\left\{\mathbf {z} \in L:d(\mathbf {x} ,\mathbf {z} )<{\frac {1}{i}}\right\}$ a $d$ oznacza standardową odległość na płaszczyźnie,

• jeśli $\mathbf {x} =(x_{1},0)\in L,$ to niech

${\mathcal {B}}(\mathbf {x} )=\{U(\mathbf {x} ,i):i=1,2,3,\dots \},$ gdzie $U(\mathbf {x} ,i)=\{\mathbf {x} \}\cup \left\{\mathbf {z} \in L:d(\mathbf {y} ^{i},\mathbf {z} )<{\frac {1}{i}}\right\}$ a $\mathbf {y} ^{i}=\left(x_{1},{\frac {1}{i}}\right).$

Przestrzeń topologiczna $(L,\tau _{N})$ nazywana jest płaszczyzną Niemyckiego.

Własności

• Płaszczyzna Niemyckiego $(L,\tau _{N})$ jest ośrodkową przestrzenią Tichonowa (ośrodkiem tej przestrzeni jest, na przykład, zbiór tych punktów, które mają obydwie współrzędne wymierne).
• Przestrzeń ta zawiera domkniętą dyskretną podprzestrzeń mocy continuum (np. zbiór $\{(x_{1},x_{2})\in L:x_{2}=0\}$ jest dyskretny i mocy continuum). W szczególności, $(L,\tau _{N})$ jako przestrzeń ośrodkowa zawierająca podprzestrzeń dyskretną mocy continuum, nie jest przestrzenią normalną.
• Każdy domknięty podzbiór płaszczyzny Niemyckiego jest przekrojem przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych.
• Przestrzeń $(L,\tau _{N})$ jest zupełna w sensie Čecha.

Bibliografia

• Paweł Aleksandrow, Heinz Hopf: Topologie I. Wyd. pierwsze. Berlin: Springer, 1935.brak strony w książce
• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: PWN, 1976, s. 36, 60, 71, 98, 273, 342, 391, 400.