Różnica symetryczna zbiorów

Różnica symetryczna zbiorów $A$ i $B$ – zbiór, do którego należą elementy dokładnie jednego z tych zbiorów, czyli zbioru $A$ nienależące do zbioru $B$ oraz elementy zbioru $B$ nienależące do zbioru $A$.

Diagram Venna dla $A{\dot {-}}B$ (różnica symetryczna oznaczona jest kolorem jasnofioletowym)

To działanie dwuargumentowe oznacza się różnymi symbolami: ${\dot {-}},$ $\Delta$ oraz $\oplus$. Można je formalnie definiować przez sumę i różnicę zbiorów, a także równoważnie, odwołując się też do przekroju:

$A{\dot {-}}B:=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)=(A\cup B)\setminus (A\cap B).$

Pojęcie to pojawiło się najpóźniej w XX wieku; w 1936 roku użył go Marshall Stone.

Własności

• Jeśli $A\subseteq B,$ to $A{\dot {-}}B=B\setminus A.$
• Za pomocą różnicy symetrycznej i iloczynu można zdefiniować sumę i różnicę zbiorów:
  • Jeśli $A\cap B=\emptyset ,$ to $A{\dot {-}}B=A\cup B;$ ogólniej, $A\cup B=A{\dot {-}}B{\dot {-}}(A\cap B)$.
  • $A\setminus B=A{\dot {-}}(A\cap B)$
• Zbiór $A{\dot {-}}(B{\dot {-}}C)$ składa się z elementów należących albo do wszystkich trzech zbiorów, albo do dokładnie jednego z nich. Z uwagi tej wynika łączność tego działania.
• Zbiór potęgowy ${\mathcal {P}}(A)$ zbioru $A$ z operacją różnicy symetrycznej tworzy grupę przemienną, gdyż działanie to:
  • jest operacją łączną,
  • jest operacją przemienną,
  • ma element neutralny – jest nim zbiór pusty: $A{\dot {-}}\varnothing =A$,
  • ma element odwrotny dla dowolnego zbioru $A$ – jest nim sam zbiór $A,$ gdyż $A{\dot {-}}A=\varnothing$.
• Działanie przekroju zbiorów jest rozdzielne względem różnicy symetrycznej.
• Z powyższych powodów zestaw $({\mathcal {P}}(A),{\dot {-}},\cap )$ tworzy pierścień – łączny, przemienny i z jedynką, w którym dodatkowo $A\cap A=A$ dla wszystkich $A\in {\mathcal {P}}(A).$ Jest to przykład pierścienia Boole’a.

Różnica symetryczna w logice

Przyjmując, że zdanie logiczne $a$ oznacza: „$x$ należy do zbioru $A$”, natomiast zdanie $b{:}$ „$x$ należy do zbioru $B$” to zdanie $x\in A{\dot {-}}B$ można równoważnie zapisać jako $a{\underline {\lor }}b,$ gdzie ${\underline {\lor }}$ oznacza alternatywę rozłączną.

Zobacz też

• dopełnienie zbioru
• iloczyn kartezjański

Bibliografia

• Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1952, seria: Monografie matematyczne, t. 27. OCLC 250182901. [dostęp 2016-09-23].
• Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 8. Warszawa: PWN, 1980, seria: Biblioteka Matematyczna, t. 9. ISBN 83-01-01372-9.
• Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1975, seria: Biblioteka Matematyczna, t. 30. OCLC 749626864.
• Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996. ISBN 83-01-12129-7.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Symmetric Difference, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].