Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej

Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej – twierdzenie w analizie i teorii miary stwierdzające, że granica monotonicznie zbieżnego ciągu nieujemnych funkcji mierzalnych jest mierzalna. Jeśli dodatkowo funkcje w ciągu są całkowalne i zbiór wartości całek jest ograniczony, to funkcja graniczna też jest całkowalna i jej całka jest granicą całek z wyjściowych funkcji.

Henri Lebesgue

Nazwa twierdzenia została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Henri Lebesgue’a.

Twierdzenie

Załóżmy że:

(a) $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ jest przestrzenią mierzalną z miarą,

(b) $f_{n}\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$ (dla $n\in \mathbb {N}$) jest funkcją mierzalną,

(c) $0\leqslant f_{1}(x)\leqslant f_{2}(x)\leqslant f_{3}(x)\leqslant \ldots$ dla każdego $x\in X,$

(d) dla wszystkich $x\in X$ istnieje granica $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x);$ niech funkcja $f\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$ będzie zdefiniowana przez

$f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)$ dla $x\in X.$

Wówczas funkcja $f$ jest mierzalna. Jeśli dodatkowo

(e) każda z funkcji $f_{n}$ jest całkowalna i zbiór $\left\{\int f_{n}\ d\mu :n\in \mathbb {N} \right\}$ jest ograniczony z góry,

to funkcja $f$ jest całkowalna oraz $\int f\ d\mu =\lim _{n\to \infty }\int f_{n}\ d\mu .$

Powyższe twierdzenie często formułuje się tak, że w (c) i (d) jest wymagana zbieżność prawie wszędzie, a nie dla każdego $x.$

Szkic dowodu

Mierzalność funkcji granicznej jest zwykle dowodzona osobno; wynika ona z faktu, że granica zbieżnego ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna. Załóżmy więc, że są spełnione warunki (a)-(e). Jak wspomnieliśmy, $f$ jest mierzalna. Ponieważ ciąg $\left(\int f_{n}d\mu \right)_{n\in \mathbb {N} }$ jest monotonicznie rosnący i ograniczony z góry (na mocy założeń (c) i (e)), więc jest on zbieżny. Niech $C=\lim _{n\to \infty }\int f_{n}\ d\mu .$

Przypuśćmy, że $h\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$ jest całkowalną funkcją prostą taką, że $0\leqslant h\leqslant f.$ Ustalmy na jakiś czas liczbę $\alpha \in (0,1).$ Dla liczby naturalnej $n\in \mathbb {N}$ połóżmy

$A_{n}=\{x\in X:\alpha \cdot h(x)\leqslant f_{n}(x)\}.$

Oczywiście, $A_{n}\in {\mathcal {F}}$ (jako że zarówno $f_{n},$ jak i $h$ są mierzalne) oraz $A_{n}\subseteq A_{n+1}$ (używamy tu założenia (c)). Ponieważ $\alpha \cdot h(x)<f(x)$ ilekroć $f(x)>0,$ to używając założenia (d) widzimy, że $X=\bigcup \limits _{n=1}^{\infty }A_{n}.$ Zauważmy, że

(i) ${}\quad \alpha \cdot \int \limits _{A_{n}}h\ d\mu \leqslant \int \limits _{A_{n}}f_{n}\ d\mu \leqslant \int f_{n}\ d\mu .$

Następnie, pamiętając że $h$ jest funkcją prostą, sprawdza się że

(ii) ${}\quad \lim _{n\to \infty }\int \limits _{A_{n}}h\ d\mu =\int \limits _{\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}h\ d\mu =\int h\ d\mu .$

Przechodząc z $n$ do granicy w (i) i używając (ii), otrzymujemy

$\alpha \cdot \int h\ d\mu \leqslant C.$

Ponieważ powyższa nierówność zachodzi dla każdej liczby $\alpha \in (0,1),$ to otrzymujemy iż $\int h\ d\mu \leqslant C=\lim _{n\to \infty }\int f_{n}\ d\mu .$

Tak więc wykazaliśmy, że dla każdej funkcji prostej $h$ spełniającej nierówności $0\leqslant h\leqslant f,$ mamy, że $\int h\ d\mu \leqslant C,$ a więc funkcja $f$ jest całkowalna oraz $\int f\ d\mu \leqslant C.$ (Czytelnik może zechcieć skonsultować ten wniosek z definicją funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a.) Ponieważ jednocześnie $\int f_{n}\ d\mu \leqslant \int f\ d\mu$ (jako że $f_{n}\leqslant f$), to mamy też

$\int f\ d\mu =C=\lim _{n\to \infty }\int f_{n}\ d\mu .$

Zastosowania

• Twierdzenie o zbieżności monotonicznej jest używane w niektórych dowodach lematu Fatou.
• Jest ono również używane (przy odpowiednich założeniach o funkcjach $f_{1},f_{2},\dots$) do całkowań nieujemnych szeregów funkcyjnych:

$\sum _{n}\int f_{n}\;d\mu =\int \;\sum _{n}f_{n}\;d\mu .$

Zobacz też

• całka Lebesgue’a
• funkcja całkowalna
• lemat Fatou
• twierdzenie Fubiniego
• twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej
• twierdzenie Vitalego o zbieżności

Bibliografia

• Walter Rudin: Analiza rzeczywista i zespolona. Wydawnictwo Naukowe PWN, 1998. ISBN 978-83-01-15801-9.brak strony w książce
• Ryszard Rudnicki: Wykłady z analizy matematycznej. Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006.brak strony w książce