Widmowa gęstość mocy

Widmowa gęstość mocy, gęstość widmowa, gęstość widmowa mocy, gęstość widmowa energii – funkcja częstotliwości, określona na zbiorze dodatnich liczb rzeczywistych, związana ze stacjonarnym procesem stochastycznym lub deterministyczna funkcja czasu, której wymiary to moc na Hz, lub energia na Hz. Często nazywana po prostu widmem sygnału.

WstępEdytuj

Poglądowo rzecz ujmując gęstość widmowa przedstawia zawartość częstotliwości w procesie stochastycznym i pozwala na identyfikację występujących w nim okresowości.

Innymi słowy stacjonarny proces stochastyczny można charakteryzować przez gęstość widmową   procesu stochastycznego   która reprezentuje moc sygnału przy poszczególnych pulsacjach. Każdy proces losowy   w dziedzinie czasu odpowiada jednoznacznie funkcji losowej zwanej widmem częstotliwości, którą należy rozumieć jako zbiór widm (rozkład harmoniczny lub rozkład normalny amplitud) realizacji procesu[1].

Widmowa gęstość energiiEdytuj

Widmowa gęstość energii opisuje jaki jest rozkład częstotliwościowy energii (wariancji) sygnału lub szeregu czasowego. Jeśli   jest sygnałem o skończonej energii, całkowalnym z kwadratem to widmowa gęstość   sygnału jest kwadratem modułu ciągłej transformaty Fouriera tego sygnału:

 

gdzie:

 pulsacja (  razy częstotliwość),
  – ciągła transformata Fouriera funkcji  
 sprzężenie zespolone transformaty Fouriera  

Jeśli sygnał ma charakter dyskretny z wartościami   nad nieskończoną liczbą elementów to widmowa gęstość energii dana jest wzorem:

 

gdzie   jest dyskretną transformatą Fouriera  

Widmowa gęstość mocyEdytuj

Alternatywę do powyższego stanowi widmowa gęstość mocy, która opisuje jaki jest rozkład częstotliwościowy mocy sygnału lub szeregu czasowego. Moc może tu być faktyczną mocą fizyczną, ale dużo częściej definiuje się ją abstrakcyjnie dla sygnałów jako kwadrat wartości sygnału. Taka moc (średnia lub wartość oczekiwana, która jest średnią mocy) dana jest dla sygnału   jako:

 

W takim przypadku nie istnieje transformata Fouriera, jako że sygnał z niezerową mocą średnią nie jest całkowalny z kwadratem. Jednakże twierdzenie Chinczyna-Wienera daje prostą alternatywę. Jeśli sygnał może być potraktowany jako losowy proces stacjonarny w szerszym sensie to gęstość widmowa mocy jest transformatą Fouriera funkcji autokorelacji   tego sygnału. Co daje w rezultacie wzór:

 

Można wykazać, że gdy uśredniający czas przedziału   to średnia zespołu statystycznego średniego periodogramu zmierza do widmowej gęstości mocy:

 

Moc sygnału dla danego pasma częstotliwości można wyliczyć wykonując całkowanie widmowej gęstości mocy po dodatnich i ujemnych częstotliwościach:

 

Własności widmowej gęstości mocyEdytuj

Pomiędzy dwustronną (to jest określoną zarówno dla dodatnich, jak i ujemnych wartości  ) gęstością widmową   a funkcją korelacji   zachodzą następujące związki:

 
 

Gęstość widmową   stacjonarnego procesu stochastycznego   jest funkcją parzystą pulsacji:

 

Gęstość widmowa   jest wielkością rzeczywistą. Znając gęstość widmową   sygnału   można obliczyć średnią kwadratową wartość tego sygnału korzystając ze wzoru:

 

Analogicznie do gęstości widmowej   jednego procesu stochastycznego   można wyznaczyć gęstość widmową   dwóch procesów stochastycznych   i   Wzajemna gęstość widmowa dwóch sygnałów niezależnych jest równa zero. Wzajemna gęstość widmowa   jest parzystą funkcją pulsacji, tzn.:

 

Analiza widmowa stacjonarnych procesów stochastycznychEdytuj

Jeśli gęstość widmowa sygnału wejściowego jest znana i wynosi   to gęstość widmowa sygnału wyjściowego   na wyjściu układu o transmitancji widmowej   określa zależność:

 

Wzajemna gęstość widmowa   jest równa iloczynowi transmitancji widmowej   układu i gęstości widmowej   wymuszenia  

 

Stacjonarny szum biały jest to proces stochastyczny, który ma stałą gęstość widmową (i zerową wartość oczekiwaną).

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Jerzy Brzózka: Regulatory i układy automatyki. Warszawa: Wydawnictwo Mikom, 2004, s. 35–38.