Grupa Mathieu

(Przekierowano z Grupy Mathieu)

Grupa Mathieu – jedna z pięciu skończonych grup prostych odkrytych i opisanych przez francuskiego matematyka Émile’a Léonarda Mathieu w jego pracach z lat 1861[1] i 1873[2]; były to pierwsze odkryte sporadyczne grupy proste. Zwykle oznacza się je symbolami i można o nich myśleć jako o grupach permutacji zbiorów odpowiednio 11, 12, 22, 23, czy 24 elementów (punktów).

Czasami, do oznaczenia podobnych grup (działających odpowiednio na zbiorach 7-, 8-, 9-, 10-, 19-, 20- i 21-punktowych), mianowicie stabilizatorów punktów w większych grupach, stosuje się symbole oraz Choć nie są sporadycznymi grupami prostymi, podgrupy te są istotne ze względu na to, iż mogą służyć do konstruowania większych[a]. Z drugiej strony John Conway zasugerował, że można rozszerzyć ten ciąg poprzez uogólnienie piętnastki, gdzie uzyskuje się podzbiór podgrupy symetrycznej zbioru 13-punktowego oznaczany [3][4]

Największa z grup, która zwiera wszystkie inne, zawiera się w grupie symetrii kodu binarnego Golaya, który ma zastosowania praktyczne. Co więcej, grupy Mathieu stanowią fascynację wielu badaczy teorii grup jako anomalie matematyczne.

HistoriaEdytuj

Grupy proste definiuje się jako grupy bez nietrywialnych podgrup normalnych właściwych. Intuicyjnie oznacza to, że nie można ich rozbić na iloczyny mniejszych grup. Przez wiele lat dążono do sklasyfikowania grup prostych, aż wreszcie udało się to zrobić około 1980 roku. Grupy proste należą do wielu nieskończonych rodzin z wyjątkiem 26 grup, wśród których są także grupy Mathieu, nazywanych sporadycznymi grupami prostymi. Po opisaniu grup Mathieu nie udało się znaleźć nowych sporadycznych grup prostych aż do roku 1965, kiedy to odkryto grupę J1.

Grupy wielokrotnie przechodnieEdytuj

Mathieu był zainteresowany opisaniem grup permutacji wielokrotnie przechodnich (wielokrotnie tranzytywnych), które zostaną teraz zdefiniowane. Dla liczby naturalnej k grupa permutacji   działająca na zbiorze n-punktowym jest k-przechodnia (k-tranzytywna), jeżeli dla danych dwóch zbiorów punktów   oraz   o takiej własności, że   są różne i   są różne, istnieje element   grupy   który odwzorowuje   na   dla każdego   Taka grupa nazywana jest ściśle k-przechodnią (ściśle k-tranzytywną), jeżeli istnieje wyłącznie jeden element   o tej własności (tzn. działanie na k-tkach jest regularne, a nie tylko przechodnie).

Grupa   jest 5-przechodnia, zaś   jest grupą ściśle 5-przechodnią, przy czym pozostałe grupy Mathieu (proste lub nie) są podgrupami odpowiadającym stabilizatorom zbiorów  -punktowych o odpowiednio niższej przechodniości (M23 jest 4-przechodnia itd.).

Jedynymi grupami 4-przechodnimi są grupy symetryczne   dla   grupy alternujące   dla   i grupy Mathieu   Pełny dowód wymaga klasyfikacji skończonych grup prostych, ale niektóre przypadki szczególne były znane przed jej opracowaniem.

Klasycznym wynikiem Jordana jest fakt, że grupy symetryczne i alternujące (odpowiednio stopni k i k – 2) oraz grupy   i   są jedynymi ściśle k-przechodnimi grupami permutacji dla k równych co najmniej 4.

Ważnymi przykładami grup wielokrotnie przechodnich są grupy 2-przechodnie i grupy Zassenhausa. Grupy Zassenhausa zawierają rzutową ogólną grupę liniową (ang. projective general linear group) prostej rzutowej nad ciałem skończonym,   która jest ściśle 3-przechodnia (zob. dwustosunek) na zbiorze  -elementowym.

Rząd i tabela przechodniościEdytuj

Grupa Rząd Rząd (iloczyn) Rozkład rzędu Przechodniość Prostota
  244 823 040 3· 16 · 20 · 21 · 22 · 23 · 24 210 · 33 · 5 · 7 · 11 · 23 5-przechodnia prosta
  10 200 960 3 · 16 · 20 · 21 · 22 · 23 27 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23 4-przechodnia prosta
  443 520 3 · 16 · 20 · 21 · 22 27 · 32 · 5 · 7 · 11 3-przechodnia prosta
  20 160 3 · 16 · 20 · 21 26 · 32 · 5 · 7 · 11 2-przechodnia prosta
  960 3 · 16 · 20 26 · 3 · 5 1-przechodnia nieprosta
  48 3 · 16 24 · 3 0-przechodnia[b] nieprosta
 
  95 040 8 · 9 · 10 · 11 · 12 26 · 33 · 5 · 11 ściśle 5-przechodnia prosta
  7920 8 · 9 · 10 · 11 24 · 32 · 5 · 11 ściśle 4-przechodnia prosta
  720 8 · 9 · 10 24 · 32 · 5 ściśle 3-przechodnia nieprosta
  72 8 · 9 23 · 32 ściśle 2-przechodnia nieprosta
  8 8 23 ściśle 1-przechodnia nieprosta
  1 1 1 ściśle 0-przechodnia nieprosta

Konstrukcje grup MathieuEdytuj

Grupy Mathieu mogą być skonstruowane na wiele sposobów.

Grupy permutacjiEdytuj

Grupa   ma podgrupę prostą rzędu   będącą zarazem podgrupą maksymalną. Podgrupa ta może być reprezentowana jako liniowa grupa ułamków jedenastoelementowego ciała   Jeżeli   oznacza   zaś   – nieskończoność, to dwoma standardowymi generatorami są   oraz   Trzeci generator, dający   odwzorowuje element   ciała   na   w zapisie permutacyjnym jest to   Stabilizatorem czterech punktów jest grupa kwaternionów.

Podobnie   jest maksymalna podgrupa prosta rzędu   która może być reprezentowana jako liniowa grupa ułamków ciała   Jeden generator dodaje jedynkę do każdego z elementów (nie poruszając punktu N w nieskończoności), tzn. jest to

 

drugim jest permutacja odwracająca porządek,

 

Trzeci generator, dający   odwzorowuje element   ciała   na   nieciekawe obliczenia pokazują, że jako permutacja jest to element

 

Konstrukcje te są cytowane za Carmichaelem[5]; Dixon i Mortimer przypisują permutacje Mathieu[6].

Grupy automorfizmów systemów SteineraEdytuj

Istnieje, co do równoważności, dokładnie jeden system Steinera   (geometria Witta) typu   Grupa   jest grupą automorfizmów tego systemu Steinera; tzn. zbiór permutacji, które przekształcają każdy blok na inny. Podgrupy   i   są zdefiniowane jako stabilizatory odpowiednio jednego oraz dwóch punktów.

Podobnie, istnieje, co do równoważności, dokładnie jeden system Steinera   typu   a grupa   jest jej grupą automorfizmów. Podgrupa   jest stabilizatorem punktu.

M24 z PSL(3,4)Edytuj

Grupę   można skonstruować wychodząc od   jest to jedno z niezwykłych zjawisk matematyki.

Dobrym zaczątkiem dla   jest   rzutowa specjalna grupa liniowa (ang. projective special linear group) przestrzeni trójwymiarowej nad skończonym ciałem 4-elementowym[7], oznaczana również   która działa na płaszczyźnie rzutowej nad ciałem   systemem typu   oznaczany   Jego 21 bloków nazywa się prostymi. Dowolne dwie proste przecinają się w jednym punkcie.

Grupa   ma 168 podgrup prostych rzędu 360 i 360 podgrup prostych rzędu 168. W większej rzutowej ogólnej grupie liniowej (ang. projective general linear group)   oba zbiory podgrup tworzą klasy sprzężoności, ale w   oba zbiory rozpadają się na trzy klasy sprzężoności. Podgrupy mają odpowiednio orbity długości 6, nazywane hiperowalami, i orbity długości 7, nazywane podpłaszczyznami Fana. Zbiory te umożliwiają tworzenie nowych bloków dla większych systemów Steinera.   jest normalna w   indeksu 3.   ma automorfizm zewnętrzny indukowany przez transponowanie elementów sprzężonych w   (automorfizm ciała). Grupa   może być więc rozszerzona do grupy   rzutowych przekształceń półtoraliniowych, która jest rozszczepieniem   przez grupę symetryczną   Okazuje się, że   można włożyć jako podgrupę maksymalną w  [8]

Hiperowal nie ma takich trzech punktów, które byłyby współliniowe. Podpłaszczyzna Fana spełnia w podobny sposób odpowiednie warunki jednoznaczności.

Do   należy dodać trzy nowe punkty i pozwolić automorfizmom   ale nie automorfizmom   na permutowanie nowych punktów. System   typu   powstaje przez dodanie jeszcze tylko jednego punktu do każdej z 21 prostych, a nowe bloki są 56 hiperowalami sprzężonymi ze względu na  

System typu   miałby 759 bloków lub oktad. Należy dołączyć do całości trzy nowe punkty do każdej prostej   jeszcze jeden nowy punkt do podpłaszczyzn Fana w każdym ze 120 zbiorów i dołączyć odpowiednie pary nowych punktów do wszystkich hiperowali. Do pełnej liczby oktad brakuje 210. Brakujące oktady to podzbiory   będące różnicami symetrycznymi par prostych. Istnieje wiele sposobów rozszerzenia grupy   do  

W12Edytuj

Grupę W12 można skonstruować opierając się na geometrii afinicznej na przestrzeni liniowej   system typu  

Inną konstrukcją   jest Kitten (dosł. kociak) R.T. Curtisa[9].

Programy komputeroweEdytuj

Powstawały też warte uwagi programy komputerowe generujące systemy Steinera. Wprowadzenie do konstrukcji   poprzez Miracle Octad Generator R.T. Curtisa i analog Conwaya dla   miniMOG, można znaleźć w książce Conwaya i Sloane’a[10].

Grupa automorfizmów kodu GolayaEdytuj

Grupa   jest zarazem grupą permutacji automorfizmów kodu binarnego Golaya   tzn. grupą permutacji współrzędnych odwzorowujących   na siebie. Słowa kodowe odpowiadają w naturalny sposób podzbiorom zbioru 24-elementowego. Wspomniane podzbiory odpowiadające słowom kodowym o 8 lub 12 współrzędnych równych 1 nazywane są odpowiednio oktadami i dodekadami. Oktady są blokami systemu Steinera   a kod binarny Holaya jest przestrzenią liniową nad ciałem dwuelementowym rozpinanym przez oktady systemu Steinera. Pełna grupa automorfizmów kodu binarnego ma rząd   gdyż istnieje   permutacji i   zmian znaków. Można to przedstawić jako permutacja i odbijanie współrzędnych wierzchołków 24-wymiarowej kostki.

Podgrupy proste   i   mogą być zdefiniowane jako podgrupy   odpowiednio jako stabilizatory: jednej współrzędnej, uporządkowanej pary współrzędnych, dodekady i dodekady wraz z jedną współrzędną.

Grupa   jest indeksu   w swojej grupie automorizmów. Jako podgrupa   grupa   działa na drugiej dodekadzie jako obraz automorfizmów zewnętrznych swojego działania na pierwszej dodekadzie.   jest podgrupą   lecz nie   Ta reprezentacja   ma orbity 11- i 12-elementowe. Grupa automorfizmów   jest podgrupą maksymalną   indeksu 1288.

Istnieje naturalny związek między grupami Mathieu i większymi grupami Conwaya, gdyż tak kod binarny Golaya, jak i krata Leecha leżą w przestrzeniach wymiaru 24. Grupy Conwaya można z kolei znaleźć w grupie Monster. Robert Griess nazywa 20 grup sporadycznych, które można znaleźć w grupie Monster szczęśliwą rodzinką (ang. Happy Family), a grupy Mathieu – pierwszym pokoleniem (ang. first generation)[11].

Dessins d’enfantsEdytuj

Grupy Mathieu można skonstruować poprzez dessins d'enfants, z   w roli dessin o sugestywnej nazwie „Monsieur Mathieu”[12].

Symetrie wielościanówEdytuj

 
Grupa M24 może być skonstruowana z symetrii kwadryki Kleina powiększonej o (niegeometryczną) symetrię jej zanurzenia jako szescioośmiościanu małego.

Grupę   można skonstruować wychodząc od symetrii kwadryki Kleina (symetrie tesselacji powierzchni o genusie 3), mianowicie grupy   która może być powiększona o dodatkową permutację. Permutację tę można opisać wychodząc od parkietażu kwadryki Kleina 20 trójkątami (o 24 wierzchołkach – zbiorze 24-punktowym, na którym działa grupa), następnie tworząc kwadraty z pewnych dwóch trójkątów, sześciokąty z 6 trójkątów, z dołączoną permutacją będącą „zamianą dwóch końców dwusiecznych kwadratów i sześciokątów”. Można to przedstawić przez kolorowanie trójkątów – odpowiadający kafelkowanie jest topologicznie, ale nie geometrycznie kafelkowaniem t0,1{4, 3, 3} i może być (wielościennie) zanurzony w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej jako szescioośmiościan mały (który również ma 24 wierzchołki)[13].

WłasnościEdytuj

Grupy Mathieu mają fascynujące własności; grupy są wynikiem współwystępowania kilku anomalii w teorii grup.

Na przykład   zawiera egzemplarz wyjątkowego automorfizmu zewnętrznego grupy   Grupa   zawiera podgrupę izomorficzną z   działającą w różny sposób na dwóch zbiorach 6-elementowych. Z kolei   ma automorfizm zewnętrzny indeksu 2 i, jako podgrupa   działa w różny sposób na dwóch zbiorach 12-elementowych.

Należy zauważyć   jest rozszerzeniem nierozszczepiającym postaci   (rozszerzenie grupy rzędu 2 przez A6), i odpowiednio   może być oznaczana symbolem   gdyż jest to podgrupa indeksu 2 grupy  

Grupa liniowa   ma izomorfizm wyjątkowy (ang. exceptional isomorphism) w grupę alternującą   izomorfizm ten jest istotny ze względu na strukturę   Stabilizator punktowy   oktady jest grupą abelową rzędu 16 o wykładniku 2, a każda z jego inwolucji porusza wszystkie 16 punktów poza oktadę. Stabilizator oktady jest rozszczepieniem   przez  [14] Istnieje 759 (= 3 · 11 · 23) oktad. Stąd rząd   wynosi 759 · 16 · 20160.

Reprezentacja macierzowa w GL(11, 2)Edytuj

Kod binarny Golaya jest przestrzenią liniową wymiaru 12 nad   Punkty stałe ze względu na M24 tworzą podprzestrzeń złożoną z dwóch wektorów, których współrzędne złożone są z samych 0 bądź 1. Przestrzeń ilorazowa, wymiaru 11, rzędu 211, może być skonstruowana jako zbiór podziałów 24 bitów na pary słów kodowych Golaya. Intrygującą rzeczą jest to, że liczba niezerowych wektorów, 211−1 = 2047, jest najmniejszą liczbą Mersenne’a o wykładniku pierwszym, która nie jest liczbą pierwszą i ma rozkład 23 · 89. Następnie   dzieli  

Grupa M23 również wymaga wymiaru 11.

Grupy M22, M12 oraz M11 mają reprezentację w GL(10, 2).

Podgrupa sekstetów grupy M24Edytuj

Tetradą nazywa się dowolny zbiór 4 punktów systemu Steinera   Oktada wyznaczona jest przez wybranie pięciu z pozostałych 20 punktów. Istnieje 5 możliwych oktad. Stąd dowolna tetrada wyznacza podział na 6 tetrad, nazywanych sekstetami, których stabilizator w   nazywany jest grupą sekstetów.

Całkowita liczba tetrad to 24 · 23 · 22 · 21/4! = 23 · 22 · 21. Podzielenie tej liczby przez 6 daje liczbę sekstetów, 23 · 11 · 7 = 1771. Więcej, grupa sekstetów to podgrupa splotu rzędu 6! · (4!)6, którego jedynymi dzielnikami pierwszymi są 2, 3 oraz 5. Są to dzielniki pierwsze   Dalsza analiza dałaby rząd grupy sekstetów, a stąd  

Dogodnie jest umieścić 24 punkty w tablicy 6 × 4:

 

Wygodnie jest także użyć elementów ciała   do numerowania wierszy: 0, 1, u, u2.

Grupa sekstetów ma abelową podgrupę normalną   rzędu 64, izomorficzną z heksakodem, przestrzenią liniową długości 6 i wymiaru 3 nad   Niezerowy element H wykonuje podwójną transpozycję w 4 lub 6 kolumnach. Jego działanie może być postrzegane jako dodawanie współrzędnych wektora do liczb w wierszach.

Grupa sekstetów jest rozszczepieniem H przez grupę   (rozszerzenie stem, ang. stem extension). Poniżej znajduje się przypadek w grupach Mathieu, gdzie grupa prosta (A6) jest podilorazem, ale nie podgrupą.   jest normalizatorem w   podgrupy generowanej przez

 

który może być interpretowany jako mnożenie liczb w rzędach przez u2. Podgrupa   jest centralizatorem   Generatorami   są:

  (obrót trzech pierwszych kolumn),
 
  (iloczyn dwóch powyższych),
  (obrót trzech ostatnich kolumn).

Parzysta permutacja kolumn, np.   generuje  

Grupa   jest izomorficzna z podgrupą   której obraz w   został opisany wyżej jako grupa hiperowali.

Aplet Moggie ma funkcję wyświetlania sekstetów w kolorze.

Struktura podgrupEdytuj

Grupa M24 zawiera nieabelowa podgrupy proste 13 typów izomorfizmów: pięć klas A5, cztery klasy PSL(3,2), dwie klasy A6, dwie klasy PSL(2,11), po jednej klasie A7, PSL(2,23), M11, PSL(3,4), A8, M12, M22, M23 oraz M24.

Podgrupy maksymalne M24Edytuj

Robert T. Curtis przedstawił pełny opis maksymalnych podgrup grupy M24 w 1977[15], co błędnie zaanonsowano wcześniej w 1972 roku[16][17].

Lista przedstawia się następująco[8]:

  • M23, rząd 10 200 960,
  • M22:2, rząd 887 040, orbity 2- i 22-elementowe,
  • 24:A8, rząd 322 560, orbity 8- i 16-elementowe: grupa oktad
  • M12:2, rząd 190 080, przechodnia i imprymitywna: grupa dodekad
Egzemplarz M12 działający w inny sposób na dwóch zbiorach 12-elementowych, odzwierciedlający automorfizm zewnętrzny M12
  • 26:(3.S6), rząd 138 240: grupa sekstetów (zob. wyżej)
  • PSL(3,4):S3, rząd 120 960, orbity 3- i 21-elementowe
  • 26:(PSL(3,2) × S3), rząd 64 512, przechodnia i imprymitywna: grupa trójek (ang. trio group)
Stabilizator rozbicia na 3 oktady
  • PSL(2,23), rząd 6 072: podwójnie przechodnie
  • Grupa ósemkowa, rząd 168, prosta, przechodnia i imprymitywna, 8 bloków trójelementowych
Ostatnia znaleziona podgrupa maksymalna M24.
7-elementowe podzbiory tej grupy dzielą się na 2 klasy sprzężoności zbiorów 24-elementowych.

Podgrupy maksymalne M23Edytuj

  • M22, rząd 443 520
  • PSL(3,4):2, rząd 40 320, orbity 21- i 2- elementowe
  • 24:A7, rząd 40 320, orbity 7- i 16-elementowe
Stabilizator bloku W23
  • A8, rząd 20 160, orbity 8- i 15-elementowe
  • M11, rząd 7 920, orbity 11- i 12-elementowe
  • (24:A5):S3 lub M20:S3, rząd 5 760, orbity 3- i 20-elementowe (5 bloków 4-elementowych)
Jednopunktowy stablizator grupy sekstetów
  • 23:11, rząd 253, regularna

Podgrupy maksymalne M22Edytuj

Nie istnieją podgrupy właściwe przechodnie na całym 22-elementowym zbiorze.

  • PSL(3,4) lub M21, rząd 20160: jednopunktowy stabilizator
  • 24:A6, rząd 5760, orbity 6- i 16-elementowe
Stabilizator bloku W22
  • A7, rząd 2520, orbity 7- i 15-elementowe
  • A7, orbity 7- i 15-elementowe
  • 24:S5, rząd 1920, orbity 2- i 20-elementowe (5 bloków 4-elementowych)
2-punktowy stabilizator w grupie sekstetów
  • 23:PSL(3,2), rząd 1344, orbity 8- i 14-elementowe
  • M10, rząd 720, orbity 10- i 12-elementowe (2 bloki 6-elementowe)
Jednopunktowy stabilizator M11 (punkt w orbicie 11-elementowej)
nierozszczepione rozszerzenie postaci A6.2
  • PSL(2,11), rząd 660, dwie orbity 11-elementowe
Kolejny jednopunktowy stabilizator M11 (punkt w orbicie 12-elementowej)

Podgrupy maksymalne M21Edytuj

Nie istnieją podgrupy właściwe przechodnie na całym 21-elementowym zbiorze.

  • 24:A5 lub M20, rząd 960: stabilizator jednopunktowy
Imprymitywna na 5 blokach 4-elementowych
  • 24:A5, transpozycja M20, orbity 5- i 16-elementowe
  • A6, rząd 360, orbity 6- i 15-elementowe: grupa hiperowali
  • A6, orbity 6- i 15-elementowe
  • A6, orbity 6- i 15-elementowe
  • PSL(3,2), rząd 168, orbity 7- i 14-elementowe: grupa podpłaszczyzny Fana
  • PSL(3,2), orbity 7- i 14-elementowe
  • PSL(3,2), orbity 7- i 14-elementowe
  • 32:Q lub M9, rząd 72, orbity 9- i 12-elementowe

Podgrupy maksymalne M12Edytuj

Istnieje 11 klas sprzężoności podgrup maksymalnych, 6 występujących w automorficznych parach.

  • M11, rząd 7920, stopień 11
  • M11, stopień 12
Obraz automorfizmu zewnętrznego poprzedniego typu
  • S6:2, rząd 1440, imprymitywna i przechodnia, 2 bloki 6-elementowe
Przykład wyjątkowego automorfizmu zewnętrznego S6
  • M10.2, rząd 1440, orbity 2- i 10-elementowe
Obraz automorfizmu zewnętrznego poprzedniego typu
  • PSL(2,11), rząd 660, podwójnie przechodnia na zbiorze 12-punktowym
  • 32:(2.S4), rząd 432, orbity 3- i 9-elementowe
Izomorficzna z grupą afiniczną na przestrzeni C3 × C3.
  • 32:(2.S4), imprymitywna na 4 zbiorach 3-elementowych
Obraz automorfizmu zewnętrznego poprzedniego typu
  • S5 × 2, rząd 240, podwójnie imprymitywna, 6 na 2
Centralizator sześciokrotnej transpozycji
  • Q:S4, rząd 192, orbity 4- i 8-elementowe
Centralizator poczwórnej transpozycji
  • 42:(2 × S3), rząd 192, imprymitywna na 3 zbiorach 4-elementowych
  • A4 × S3, rząd 72, podwójnie imprymitywna, 4 na 3

Podgrupy maksymalne M11Edytuj

Istnieje 5 klas sprzężoności podgrup maksymalnych

  • M10, rząd 720, jednopunktowy stabilizator w reprezentacji stopnia 11
  • PSL(2,11), rząd 660, jednopunktowy stabilizator w reprezentacji stopnia 12
  • M9:2, rząd 144, stabilizator rozbić 9- i 2-elementowego.
  • S5, rząd 120, orbity 5- i 6-elementowe
Stabilizator bloku w systemie Steinera S(4,5,11)
  • Q:S3, rząd 48, orbity 8- i 3-elementowe
Centralizator poczwórnej transpozycji
Izomorficzna z GL(2,3).

Liczba elementów według rzęduEdytuj

Maksymalny rząd dowolnego elementu w M11 wynosi 11. Rzędy i rozmiary klas sprzężoności można znaleźć w ATLASie[18].

Rząd Liczba elementów Sprzężoność
1 = 1 1 = 1 1 klasa
2 = 2 165 = 3 · 5 · 11 1 klasa
3 = 3 440 = 23 · 5 · 11 1 klasa
4 = 22 990 = 2 · 32 · 5 · 11 1 klasa
5 = 5 1584 = 24 · 32 · 11 1 klasa
6 = 2 · 3 1320 = 23 · 3 · 5 · 11 1 klasa
8 = 23 1980 = 22 · 32 · 5 · 11 2 klasy (równoważne potęgowo)
11 = 11 1440 = 25 · 32 · 5 2 klasy (równoważne potęgowo)

Maksymalny rząd dowolnego elementu w M12 wynosi 11. Rzędy i rozmiary klas sprzężoności można znaleźć w ATLASie[19].

Rząd Liczba elementów Sprzężoność
1 = 1 1 = 1 1 klasa
2 = 2 891 = 34 · 11 2 klasy (nierównoważne potęgowo)
3 = 3 4400 = 24 · 52 · 11 2 klasy (nierównoważne potęgowo)
4 = 22 5940 = 22 · 33 · 5 · 11 2 klasy (nierównoważne potęgowo)
5 = 5 9504 = 25 · 33 · 11 1 klasa
6 = 2 · 3 23 760 = 24 · 33 · 5 · 11 2 klasy (nierównoważne potęgowo)
8 = 23 23 760 = 24 · 33 · 5 · 11 2 klasy (nierównoważne potęgowo)
10 = 2 · 5 9504 = 25 · 33 · 11 1 klasa
11 = 11 17 280 = 27 · 33 · 5 2 klasy (równoważne potęgowo)

Maksymalny rząd dowolnego elementu w M22 wynosi 11.

Rząd Liczba elementów Sprzężoność
1 = 1 1 = 1 1 klasa
2 = 2 1155 = 3 · 5 · 7 · 11 1 klasa
3 = 3 12 320 = 25 · 5 · 7 · 11 1 klasa
4 = 22 13 860 = 22 · 32 · 5 · 7 · 11 1 klasa
27 720 = 23 · 32 · 5 · 7 · 11 1 klasa
5 = 5 88 704 = 27 · 32 · 7 · 11 1 klasa
6 = 2 · 3 36 960 = 25 · 3 · 5 · 7 · 11 1 klasa
7 = 7 126 720 = 28 · 32 · 5 · 11 2 klasy (równoważne potęgowo)
8 = 23 55 440 = 24 · 32 · 5 · 7 · 11 1 klasa
11 = 11 80 640 = 28 · 32 · 5 · 7 2 klasy (równoważne potęgowo)

Maksymalny rząd dowolnego elementu w M23 wynosi 23.

Rząd Liczba elementów Sprzężoność
1 = 1 1 = 1 1 klasa
2 = 2 3795 = 3 · 5 · 11 · 23 1 klasa
3 = 3 56 672 = 25 · 7 · 11 · 23 1 klasa
4 = 22 318 780 = 22 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23 1 klasa
5 = 5 680 064 = 27 · 3 · 7 · 11 · 23 1 klasa
6 = 2 · 3 850 080 = 25 · 3 · 5 · 7 · 11 · 23 1 klasa
7 = 7 1 457 280 = 27 · 32 · 5 · 11 · 23 2 klasy (równoważne potęgowo)
8 = 23 1 275 120 = 24 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23 1 klasa
11 = 11 1 854 720 = 28 · 32 · 5 · 7 · 23 2 klasy (równoważne potęgowo)
14 = 2 · 7 1 457 280 = 27 · 32 · 5 · 11 · 23 2 klasy (równoważne potęgowo)
15 = 3 · 5 1 360 128 = 28 · 3 · 7 · 11 · 23 2 klasy (równoważne potęgowo)
23 = 23 887 040 = 28 · 32 · 5 · 7 · 11 2 klasy (równoważne potęgowo)

Maksymalny rząd dowolnego elementu w M24 wynosi 23. Jest 26 klas sprzężoności. Zachodzi intrygująca zbieżność z liczbą 26 sporadycznych grup prostych. Grupa M24 zdaje się być szczególna, nawet jak na grupę sporadyczną, być może istnieje ciekawe połączenie tych faktów.

Rząd Liczba elementów Struktura cykli i sprzężoność
1 = 1 1 1 klasa
2 = 2 11 385 = 32 · 5 · 11 · 23 28, 1 klasa
31 878 = 2 · 32 · 7 · 11 · 23 212, 1 klasa
3 = 3 226 688 = 27 · 7 · 11 · 23 36, 1 klasa
485 760 = 27 · 3 · 5 · 11 · 23 38, 1 klasa
4 = 22 637 560 = 23 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23

2444, 1 klasa

1 912 680 = 23 · 33 · 5 · 7 · 11 · 23 2244, 1 klasa
2 550 240 = 25 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23 46, 1 klasa
5 = 5 4 080 384 = 28 · 33 · 7 · 11 · 23 54, 1 klasa
6 = 2 · 3 10 200 960 = 27 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23 223262, 1 klasa
10 200 960 = 27 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23 2444, 1 klasa
7 = 7 11 658 240 = 210 · 32 · 5 · 11 · 23 73, 2 klasy (równoważne potęgowo)
8 = 23 15 301 440 = 26 · 33 · 5 · 7 · 11 · 23 2·4·82, 1 klasa
10 = 2 · 5 12 241 152 = 28 · 33 · 7 · 11 · 23 22102, 1 klasa
11 = 11 22 256 640 = 210 · 33 · 5 · 7 · 23 112, 1 klasa
12 = 22 · 3 20 401 920 = 28 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23 2 ·4·6·12, 1 klasa
20 401 920 = 28 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23 122, 1 klasa
14 = 2 · 7 34 974 720 = 210 · 33 · 5 · 11 · 23 2·7·14, 2 klasy (równoważne potęgowo)
15 = 3 · 5 32 643 072 = 211 · 32 · 7 · 11 · 23 3·5·15, 2 klasy (równoważne potęgowo)
21 = 3 · 7 23 316 480 = 211 · 32 · 5 · 11 · 23 3·21, 2 klasy (równoważne potęgowo)
23 = 23 21 288 960 = 211 · 33 · 5 · 7 · 11 23, 2 klasy (równoważne potęgowo)

UwagiEdytuj

  1.   jest grupą trywialną, zaś   nie działa przechodnio na zbiorze 19-punktowym i 19 nie dzieli jej rzędu, przez co ciąg ten nie może być dalej rozszerzany w dół.
  2.   działa nietrywialnie, lecz nieprzechodnio na zbiorze 19-punktowym i ma rząd   ponadto   W istocie, ma 2 orbity: jedną rzędu 16, jedną rzędu 3 (2-podgrupa Sylowa działa regularnie na zbiorze 16-punktowym ustalając pozostałe 3, podczas gdy 3-podgrupa Sylowa permutuje 3 punkty ustalając orbitę rzędu 16). Szczegóły w C. Choi. On Subgroups of M24. I: Stabilizers of Subsets. „Transactions of the American Mathematical Society”. 167, s. 1–27, May 1972a. American Mathematical Society. DOI: 10.2307/1996123. JSTOR: 1996123. ; s. 4.

PrzypisyEdytuj

  1. Émile Léonard Mathieu, Mémoire sur l’étude des fonctions de plusieurs quantités, sur la manière de les former et sur les substitutions qui les laissent invariables J. Math. Pures Appl. (Liouville) (2) VI, 1861, s. 241–323.
  2. E. Mathieu, Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantités, „Liouville Journ.”, (2) XVIII, 1873, s. 25–47.
  3. John H. Conway, „Graphs and Groups and M13”, uwagi z nowojorskiego 14. dnia teorii grafów (1987), s. 18–29.
  4. John Horton Conway, Noam D. Elkies, Jeremy L. Martin. The Mathieu group M12 and its pseudogroup extension M13. „Experimental Mathematics”. 15 (2), s. 223–236, 2006. ISSN 1058-6458. MR2253008. 
  5. Carmichael, Robert D. Groups of Finite Order, Dover (1937, reprint 1956), s. 151, 164, 263.
  6. John D. Dixon i Brian Mortimer Permutation Groups, Springer-Verlag (1996), s. 209.
  7. John D. Dixon i Brian Mortimer Permutation Groups, Springer-Verlag (1996), s. 192–205.
  8. a b R.L. Griess: Twelve Sporadic Groups, Springer-Verlag, 1998, s. 55.
  9. R.T. Curtis The Steiner System S(5,6,12), the Mathieu Group M12 and the ‘Kitten’, Computational Group Theory, Academic Press, Londyn, 1984.
  10. John Horton Conway; Sloane N.J.A. Sphere Packings, Lattices and Groups: v. 290 (Grundlehren Der Mathematischen Wissenschaften), Springer Verlag. ISBN 0-387-98585-9.
  11. R.L. Griess: Twelve Sporadic Groups, Springer-Verlag, 1998.
  12. Lieven le Bruyn: Monsieur Mathieu. 1 marca 2007.
  13. David A. Richter: How to Make the Mathieu Group M24. [dostęp 2010-04-15].
  14. Thomas M. Thompson: From Error Correcting Codes through Sphere Packings to Simple Groups, Carus Mathematical Monographs, Mathematical Association of America, 1983, s. 197–208.
  15. R.T. Curtis The maximal subgroups of M24. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 81 (1977) 185-192.
  16. C. Choi. On Subgroups of M24. II: the Maximal Subgroups of M24. „Transactions of the American Mathematical Society”. 167, s. 29–47, May 1972b. American Mathematical Society. DOI: 10.2307/1996124. JSTOR: 1996124. 
  17. R.L. Griess: Twelve Sporadic Groups, Springer-Verlag, 1998, s. 54.
  18. ATLAS: Grupa Mathieu M11.
  19. ATLAS: Grupa Mathieu M12.

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj