Hiperprzestrzeń (matematyka)
Hiperprzestrzeń – rodzina niepustych domkniętych zbiorów danej przestrzeni topologicznej, która sama jest przestrzenią topologiczną z topologią Vietorisa.
W terminologii topologicznej istnieją pewne rozbieżności co do znaczenia samego pojęcia. Niektóre źródła rozumieją przez hiperprzestrzeń rodzinę CL(X) złożoną ze wszystkich niepustych domkniętych podzbiorów przestrzeni topologicznej X, tj. największą możliwą hiperprzestrzeń. W teorii continuów, dla danego continuum, przez hiperprzestrzeń rozumie się zwykle rodzinę CLC(X) wszystkich niepustych domkniętych i spójnych podzbiorów przestrzeni X[1]. W teorii przestrzeni metrycznych przez hiperprzestrzeń rozumie się zwykle rodzinę 2X złożoną z niepustych podzbiorów zwartych przestrzeni X[1] (nie jest to zbiór potęgowy, zob. niżej). Najogólniejsza definicja hiperprzestrzeni to dowolna podprzestrzeń CL(X) z (dziedziczoną) topologią Vietorisa[2].
Kwestia oznaczeń edytuj
W topologii, niektórzy autorzy oznaczają symbolem 2X[3][4] lub exp(X)[5] zdefiniowaną wyżej rodzinę CL(X). Czasami przez CL(X) oznacza się rodzinę wszystkich domkniętych podzbiorów (a więc rodzinę zawierającą także zbiór pusty)[4]. W teorii mnogości symbolem 2X oznacza się czasem zbiór potęgowy danego zbioru X, tj. rodzinę wszystkich jego podzbiorów. Nawet w przypadku, gdy dany zbiór traktuje się jako przestrzeń dyskretną (tj. przestrzeń topologiczną w której wszystkie podzbiory są domknięte), wspomniane tu terminologie nie są ze sobą zgodne, bo zbiór pusty jest elementem zbioru potęgowego, ale nie jest z definicji elementem hiperprzestrzeni (w przyjętej tu definicji). Spotyka się również oznaczenie K(X) na hiperprzestrzeń złożoną ze zbiorów zwartych[4][6].
Własności edytuj
- Jeżeli przestrzenie X i Y są homeomorficzne, to hiperprzestrzenie CL(X) i CL(Y) są również homeomorficzne[7].
- Gdy X jest przestrzenią regularną, to CL(X) jest przestrzenią Hausdorffa. Przeciwna implikacja zachodzi, gdy X jest przestrzenią typu T1[8].
- Jeżeli X jest przestrzenią typu T1 to jest ona przestrzenią ośrodkową wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń CL(X) jest ośrodkowa[8].
- Jeżeli X jest przestrzenią normalną, to podprzestrzeń CLC(X) jest domknięta w CL(X)[8].
- Dla danej przestrzeni topologicznej odwzorowanie CL(X) × CL(X) → CL(X) dane wzorem (A, B) → A ∪ B jest ciągłe[9].
- Jeżeli X jest nieskończoną przestrzenią dyskretną, to CL(X) nie spełnia drugiego aksjomatu przeliczalności[10].
Metryzowalność edytuj
Istnieje ścisły związek pomiędzy zwartością hiperprzestrzeni a jej metryzowalnością. Dokładniej, jeżeli X jest przestrzenią typu T1 oraz przestrzeń CL(X) jest metryzowalna, to X jest zwarta oraz metryzowalna[11]. Zachodzą też następujące twierdzenia dotyczące hiperprzestrzeni złożonej z niepustych zbiorów zwartych:
- Jeżeli X jest przestrzenią metryczną, to hiperprzestrzeń 2X jest metryzowalna przez metrykę Hausdorffa[12]. W przypadku, gdy X jest przestrzenią metryczną z metryką ograniczoną przez 1, kanoniczne włożenie X → 2X dane wzorem x → {x} jest wówczas izometrią[13].
- Jeżeli X jest zupełną przestrzenią metryczną, to hiperprzestrzeń 2X jest metryzowalna w sposób zupełny. W szczególności, gdy X jest przestrzenią polską, to 2X też jest przestrzenią polską[14].
- Jeżeli X jest zwartą przestrzenią metryczną, to przestrzeń 2X = CL(X) jest zwarta i metryzowalna[15][14].
Przypisy edytuj
- ↑ a b Illanes i Nadler, Jr. 1999 ↓, s. 6.
- ↑ Illanes i Nadler, Jr. 1999 ↓, s. 3.
- ↑ Engelking 1989 ↓, s. 120.
- ↑ a b c Mizokami i Shimane 2004 ↓, s. 49.
- ↑ Dranishnikov 2004 ↓, s. 214.
- ↑ Kechris 1995 ↓, s. 24.
- ↑ Illanes i Nadler, Jr. 1999 ↓, s. 5.
- ↑ a b c Illanes i Nadler, Jr. 1999 ↓, s. 8.
- ↑ Illanes i Nadler, Jr. 1999 ↓, s. 9.
- ↑ Illanes i Nadler, Jr. 1999 ↓, s. 12.
- ↑ Illanes i Nadler, Jr. 1999 ↓, s. 13.
- ↑ Illanes i Nadler, Jr. 1999 ↓, s. 16.
- ↑ Kechris 1995 ↓, s. 27.
- ↑ a b Kechris 1995 ↓, s. 26.
- ↑ Illanes i Nadler, Jr. 1999 ↓, s. 18.
Bibliografia edytuj
- A. Dranishnikov: Extensors (c-12). W: red. K. P. Hart, J. Nagata, J. E. Vaughan: Encyclopedia of General Topology. Amsterdam: Elsevier Science Publishers B.V., 2004, s. 122–125. ISBN 978-0-444-50355-8. OCLC 4934231569.
- Ryszard Engelking: General Topology. T. 6. Berlin: Heldermann Verlag,Sigma Series in Pure Mathematics, 1989. ISBN 3-88538-006-4. OCLC 20464424.
- Alejandro Illanes, Sam B. Nadler, Jr.: Hyperspaces. Fundamentals and recent advances. New York: M. Dekker, 1999, seria: Pure and Applied Mathematics. ISBN 978-0-8247-1982-1.
- Alexander S. Kechris: Classical Descriptive Set Theory. Springer-Verlag, 1995.
- Takemi Mizokami, Norihito Shimane: Hyperspaces (b-6). W: red. K. P. Hart, J. Nagata, J. E. Vaughan: Encyclopedia of General Topology. Amsterdam: Elsevier Science Publishers B.V., 2004, s. 49–52. ISBN 978-0-444-50355-8. OCLC 4934231474.
- Sam B. Nadler, Jr., Hyperspaces of sets, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Math., Vol. 49, Marcel Dekker, Inc., New York, N.Y., 1978.