Liczba Heegnera (nazwana tak przez Conwaya i Guya) – dodatnia liczba całkowita bezkwadratowa
d
,
{\displaystyle d,}
taka że urojone ciało kwadratowe
Q
(
−
d
)
{\displaystyle Q({\sqrt {-d}})}
ma liczbę klas równą 1. Równoważnie jej pierścień liczb całkowitych ma jednoznaczny rozkład [1] .
Wyznaczanie takich liczb jest przypadkiem szczególnym problemu liczby klas . Kryją się one również w kilku frapujących wynikach z teorii liczb .
Według twierdzenia (Bakera-)Starka-Heegnera jest dokładnie dziewięć liczb Heegnera:
1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163[2] .
Wynik ten został podany przez Gaussa , a udowodniony, z małymi usterkami, przez Kurta Heegnera w 1952[3] . Alan Baker i Harold Stark niezależnie udowodnili ten wynik w 1966 (Baker opublikował swój dowód pod koniec 1966, a Stark na początku 1967[4] ). Później Stark wskazał, że luka w dowodzie Heegnera była niewielka[5] .
Wielomian Eulera generujący liczby pierwsze
edytuj
Wielomian Eulera generujący liczby pierwsze
n
2
−
n
+
41
,
{\displaystyle n^{2}-n+41,}
który daje różne liczby pierwsze dla
n
=
1
,
…
,
40
,
{\displaystyle n=1,\dots ,40,}
jest związany z liczbą Heegnera
163
=
4
⋅
41
−
1.
{\displaystyle 163=4\cdot 41-1.}
Formuła Eulera dla
n
{\displaystyle n}
przyjmującego wartości
n
=
1
,
…
,
40
{\displaystyle n=1,\dots ,40}
jest równoważna z
n
2
+
n
+
41
,
{\displaystyle n^{2}+n+41,}
dla
n
{\displaystyle n}
przyjmującego wartości
n
=
0
,
…
,
39.
{\displaystyle n=0,\dots ,39.}
Rabinowitz [6] udowodnił, że
n
2
+
n
+
p
{\displaystyle n^{2}+n+p}
daje liczby pierwsze dla
n
=
0
,
…
,
p
−
2
,
{\displaystyle n=0,\dots ,p-2,}
wtedy i tylko wtedy, gdy ich wyróżnik
1
−
4
p
{\displaystyle 1-4p}
jest równy ujemnej liczbie Heegnera.
Zauważmy, że dla
p
−
1
{\displaystyle p-1}
mamy
p
2
,
{\displaystyle p^{2},}
więc
p
−
2
{\displaystyle p-2}
jest największe. 1, 2 i 3 nie są w wymaganej postaci, więc liczby Heegnera, które zadziałają to:
7
,
11
,
19
,
43
,
67
,
163
,
{\displaystyle 7,11,19,43,67,163,}
dając funkcje w postaci Eulera generujące liczby pierwsze dla
2
,
3
,
5
,
11
,
17
,
41
;
{\displaystyle 2,3,5,11,17,41;}
te ostatnie liczby zostały przez François Le Lionnaisa nazwane „szczęśliwymi” liczbami Eulera[7] .
Liczby niemal całkowite i stała Ramanujana
edytuj
Stała Ramanujana jest liczbą przestępną
e
π
163
,
{\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}},}
która jest niemal całkowita , to znaczy jest bardzo „bliska” liczbie całkowitej:
e
π
163
=
262
537
412
640
768
743,999
99
99999
9925
⋯
≈
640
320
3
+
744.
{\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262\ 537\ 412\ 640\ 768\ 743{,}99999\ 99999\ 9925\dots \approx 640\ 320^{3}+744.}
Liczba ta została odkryta w 1859 przez Charles Hermite’a [8] .
W 1975 w słynnym primaaprilisowym artykule w magazynie „Scientific American ” publicysta „Mathematical Games” Martin Gardner podał dla żartu stwierdzenie[9] , że liczba ta w rzeczywistości jest całkowita, a przewidzieć to miał jakoby hinduski genialny matematyk Srinivasa Ramanujan i stąd wzięła się jej nazwa[10] .
Ten zbieg okoliczności wyjaśniono dzięki arytmetyce krzywych eliptycznych z mnożeniem zespolonym (ang. complex multiplication ) i formie modularnej
j
{\displaystyle j}
-niezmiennika.
Zwięźle ujmując
j
(
(
1
+
−
d
)
/
2
)
{\displaystyle j((1+{\sqrt {-d}})/2)}
jest całkowite dla
d
{\displaystyle d}
będącego liczbą Heegnera i poprzez formę modularną
e
π
d
≈
−
j
(
(
1
+
−
d
)
/
2
)
+
744.
{\displaystyle e^{\pi {\sqrt {d}}}\approx -j((1+{\sqrt {-d}})/2)+744.}
Jeśli
τ
{\displaystyle \tau }
jest kwadratowo niewymierne, wtedy
j
{\displaystyle j}
-niezmiennik jest liczbą algebraiczną stopnia
|
Cl
(
Q
(
τ
)
)
|
,
{\displaystyle |{\mbox{Cl}}(\mathbf {Q} (\tau ))|,}
liczba klas
Q
(
τ
)
{\displaystyle \mathbf {Q} (\tau )}
i minimalny (unormowany) wielomian , który ją spełnia jest zwany wielomianem klasy Hilberta . Zatem jeśli urojone rozwinięcie kwadratowe
Q
(
τ
)
{\displaystyle \mathbf {Q} (\tau )}
ma liczbę klas równą 1 (więc
d
{\displaystyle d}
jest liczbą Heegnera)
j
{\displaystyle j}
-niezmiennik jest liczbą całkowitą .
Forma modularna
j
{\displaystyle j}
w rozwinięciu w szereg Fouriera zapisany jako szereg Laurenta dla wyrażenia
q
=
exp
(
2
π
i
τ
)
{\displaystyle q=\exp(2\pi i\tau )}
zaczyna się następująco:
j
(
q
)
=
1
q
+
744
+
196
884
q
+
…
{\displaystyle j(q)={\frac {1}{q}}+744+196\ 884q+\ldots }
Współczynniki
c
n
{\displaystyle c_{n}}
asymptotycznie rosną jak
ln
(
c
n
)
∼
4
π
n
+
O
(
ln
(
n
)
)
,
{\displaystyle \ln(c_{n})\sim 4\pi {\sqrt {n}}+O(\ln(n)),}
a najniższe współczynniki rosną dużo wolniej niż
200
000
n
,
{\displaystyle 200\ 000^{n},}
więc dla
q
≪
1
/
200
000
,
{\displaystyle q\ll 1/200\ 000,}
j
{\displaystyle j}
jest bardzo dobrze aproksymowane przez pierwsze dwa wyrażenia. Podstawiając
τ
=
(
1
+
−
163
)
/
2
{\displaystyle \tau =(1+{\sqrt {-163}})/2}
otrzymujemy
q
=
−
exp
(
−
π
163
)
{\displaystyle q=-\exp(-\pi {\sqrt {163}})}
lub równoważne
1
q
=
−
exp
(
π
163
)
.
{\displaystyle {\frac {1}{q}}=-\exp(\pi {\sqrt {163}}).}
Teraz
j
(
(
1
+
−
163
)
/
2
)
=
(
−
640
320
)
3
,
{\displaystyle j((1+{\sqrt {-163}})/2)=(-640\ 320)^{3},}
więc
(
−
640
320
)
3
=
−
e
π
163
+
744
+
O
(
e
−
π
163
)
{\displaystyle (-640\ 320)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)}
lub
e
π
163
=
640
320
3
+
744
+
O
(
e
−
π
163
)
,
{\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=640\ 320^{3}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right),}
gdzie wyrażenie liniowe błędu jest
−
196
884
/
e
π
163
≈
196
884
/
(
640
320
3
+
744
)
≈
−
0,000
00
00000
0075
,
{\displaystyle -196\ 884/e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 196\ 884/(640\ 320^{3}+744)\approx -0{,}00000\ 00000\ 0075,}
co wyjaśnia dlaczego
e
π
163
{\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}}
jest w przybliżeniu liczbą całkowitą.
Algorytm braci Davida i Gregory’ego Chudnovsky’ch odkryty w 1987
1
π
=
12
640
320
3
/
2
∑
k
=
0
∞
(
6
k
)
!
(
163
⋅
3
344
418
k
+
13
591
409
)
(
3
k
)
!
(
k
!
)
3
(
−
640
320
)
3
k
{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640\ 320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3\ 344\ 418k+13\ 591\ 409)}{(3k)!(k!)^{3}(-640\ 320)^{3k}}}}
korzysta z faktu, że
j
(
1
+
−
163
2
)
=
−
640
320
3
.
{\displaystyle j{\big (}{\tfrac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}{\big )}=-640\ 320^{3}.}
Inne liczby Heegnera
edytuj
Dla czterech największych liczb Heegnera aproksymacje[a] są następujące:
e
π
19
≈
96
3
+
744
−
0
,
22
e
π
43
≈
960
3
+
744
−
0,000
22
e
π
67
≈
5
280
3
+
744
−
0,000
00
13
e
π
163
≈
640
320
3
+
744
−
0,000
00
00000
0075
{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 96^{3}+744-0{,}22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 960^{3}+744-0{,}00022\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 5\ 280^{3}+744-0{,}00000\ 13\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 640\ 320^{3}+744-0{,}00000\ 00000\ 0075\end{aligned}}}
Alternatywnie
e
π
19
≈
12
3
(
3
2
−
1
)
3
+
744
−
0
,
22
e
π
43
≈
12
3
(
9
2
−
1
)
3
+
744
−
0,000
22
e
π
67
≈
12
3
(
21
2
−
1
)
3
+
744
−
0,000
00
13
e
π
163
≈
12
3
(
231
2
−
1
)
3
+
744
−
0,000
00
00000
0075
{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 12^{3}(3^{2}-1)^{3}+744-0{,}22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 12^{3}(9^{2}-1)^{3}+744-0{,}00022\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 12^{3}(21^{2}-1)^{3}+744-0{,}00000\ 13\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 12^{3}(231^{2}-1)^{3}+744-0{,}00000\ 00000\ 0075\end{aligned}}}
gdzie przyczyną występowania kwadratów są pewne szeregi Einsteina . Dla liczb Heegnera
d
<
19
{\displaystyle d<19}
nie otrzymuje się liczb niemal całkowitych; nawet
d
=
19
{\displaystyle d=19}
nie jest osobliwe. Całkowite
j
{\displaystyle j}
-niezmienniki są wysoce rozkładalne, co wynika z postaci
12
3
(
n
2
−
1
)
3
=
(
2
2
⋅
3
⋅
(
n
−
1
)
⋅
(
n
+
1
)
)
3
.
{\displaystyle 12^{3}(n^{2}-1)^{3}=(2^{2}\cdot 3\cdot (n-1)\cdot (n+1))^{3}.}
Czynnikami są:
j
(
(
1
+
−
19
)
/
2
)
=
96
3
=
(
2
5
⋅
3
)
3
j
(
(
1
+
−
43
)
/
2
)
=
960
3
=
(
2
6
⋅
3
⋅
5
)
3
j
(
(
1
+
−
67
)
/
2
)
=
5280
3
=
(
2
5
⋅
3
⋅
5
⋅
11
)
3
j
(
(
1
+
−
163
)
/
2
)
=
640
320
3
=
(
2
6
⋅
3
⋅
5
⋅
23
⋅
29
)
3
{\displaystyle {\begin{aligned}j((1+{\sqrt {-19}})/2)&=96^{3}=(2^{5}\cdot 3)^{3}\\j((1+{\sqrt {-43}})/2)&=960^{3}=(2^{6}\cdot 3\cdot 5)^{3}\\j((1+{\sqrt {-67}})/2)&=5280^{3}=(2^{5}\cdot 3\cdot 5\cdot 11)^{3}\\j((1+{\sqrt {-163}})/2)&=640\ 320^{3}=(2^{6}\cdot 3\cdot 5\cdot 23\cdot 29)^{3}\end{aligned}}}
Te liczby przestępne , dodatkowo blisko aproksymowane przez liczby całkowite (które są liczbami algebraicznymi stopnia 1), mogą być również blisko aproksymowane przez liczby algebraiczne stopnia 3[11] :
e
π
19
≈
x
24
−
24
;
x
3
−
2
x
−
2
=
0
e
π
43
≈
x
24
−
24
;
x
3
−
2
x
2
−
2
=
0
e
π
67
≈
x
24
−
24
;
x
3
−
2
x
2
−
2
x
−
2
=
0
e
π
163
≈
x
24
−
24
;
x
3
−
6
x
2
+
4
x
−
2
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx x^{24}-24;x^{3}-2x-2=0\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx x^{24}-24;x^{3}-2x^{2}-2=0\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx x^{24}-24;x^{3}-2x^{2}-2x-2=0\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx x^{24}-24;x^{3}-6x^{2}+4x-2=0\end{aligned}}}
Pierwiastki trzeciego stopnia można dokładnie wyznaczyć poprzez ilorazy funkcji eta Dedekinda
η
(
τ
)
,
{\displaystyle \eta (\tau ),}
pewnej funkcji modularnej z udziałem pierwiastka stopnia 24, co wyjaśnia występowanie 24 w aproksymacji. Dodatkowo mogą być blisko aproksymowane przez liczby algebraiczne 4 stopnia[12] .
e
π
19
≈
3
5
(
3
−
2
(
−
3
+
1
3
⋅
19
)
)
−
2
−
12,000
06
…
e
π
43
≈
3
5
(
9
−
2
(
−
39
+
7
3
⋅
43
)
)
−
2
−
12,000
00
0061
…
e
π
67
≈
3
5
(
21
−
2
(
−
219
+
31
3
⋅
67
)
)
−
2
−
12,000
00
00003
6
…
e
π
163
≈
3
5
(
231
−
2
(
−
26
679
+
2
413
3
⋅
163
)
)
−
2
−
12,000
00
00000
0000
021
…
{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 3^{5}\left(3-{\sqrt {2(-3+1{\sqrt {3\cdot 19}})}}\right)^{-2}-12{,}00006\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 3^{5}\left(9-{\sqrt {2(-39+7{\sqrt {3\cdot 43}})}}\right)^{-2}-12{,}00000\ 0061\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 3^{5}\left(21-{\sqrt {2(-219+31{\sqrt {3\cdot 67}})}}\right)^{-2}-12{,}00000\ 00003\ 6\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 3^{5}\left(231-{\sqrt {2(-26\ 679+2\ 413{\sqrt {3\cdot 163}})}}\right)^{-2}-12{,}00000\ 00000\ 0000\ 021\dots \end{aligned}}}
Zauważmy ponowne pojawienie się liczb całkowitych
n
=
3
,
9
,
21
,
231
{\displaystyle n=3,9,21,231}
oraz fakt, że
2
6
⋅
3
(
−
3
2
+
3
⋅
19
⋅
1
2
)
=
96
2
2
6
⋅
3
(
−
39
2
+
3
⋅
43
⋅
7
2
)
=
960
2
2
6
⋅
3
(
−
219
2
+
3
⋅
67
⋅
31
2
)
=
5280
2
2
6
⋅
3
(
−
26
679
2
+
3
⋅
163
⋅
2413
2
)
=
640
320
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&2^{6}\cdot 3(-3^{2}+3\cdot 19\cdot 1^{2})=96^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-39^{2}+3\cdot 43\cdot 7^{2})=960^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-219^{2}+3\cdot 67\cdot 31^{2})=5280^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-26\ 679^{2}+3\cdot 163\cdot 2413^{2})=640\ 320^{2}\end{aligned}}}
z odpowiednimi potęgami ułamkowymi są właśnie
j
{\displaystyle j}
-niezmiennikami. Również dla liczb algebraicznych stopnia 6
e
π
19
≈
(
5
x
)
3
−
6,000
01
0
…
e
π
43
≈
(
5
x
)
3
−
6,000
00
0010
…
e
π
67
≈
(
5
x
)
3
−
6,000
00
00000
61
…
e
π
163
≈
(
5
x
)
3
−
6,000
00
00000
00000
034
…
{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx (5x)^{3}-6{,}00001\ 0\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx (5x)^{3}-6{,}00000\ 0010\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx (5x)^{3}-6{,}00000\ 00000\ 61\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx (5x)^{3}-6{,}00000\ 00000\ 00000\ 034\dots \end{aligned}}}
gdzie
x
{\displaystyle x}
są dane przez odpowiednie pierwiastki równania szóstego stopnia
5
x
6
−
96
x
5
−
10
x
3
+
1
=
0
5
x
6
−
960
x
5
−
10
x
3
+
1
=
0
5
x
6
−
5280
x
5
−
10
x
3
+
1
=
0
5
x
6
−
640
320
x
5
−
10
x
3
+
1
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}&5x^{6}-96x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-960x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-5280x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-640\ 320x^{5}-10x^{3}+1=0\end{aligned}}}
z ponownie pojawiającymi się
j
{\displaystyle j}
-niezmiennikami. Równania szóstego stopnia są nie tylko algebraiczne, ale są też rozwiązalne w pierwiastkach , ponieważ rozkładają się na dwa równania sześcienne nad rozszerzeniem
Q
5
{\displaystyle \mathbb {Q} {\sqrt {5}}}
(z pierwszym równaniem rozkładającym się dalej na dwa równania kwadratowe ). Te aproksymacje algebraiczne mogą być dokładnie wyrażone w wyrażeniach z ilorazami
η
{\displaystyle \eta }
Dedekinda. Dla przykładu niech
τ
=
(
1
+
−
163
)
/
2
,
{\displaystyle \tau =(1+{\sqrt {-163}})/2,}
wtedy
e
π
163
=
(
e
π
i
/
24
η
(
τ
)
η
(
2
τ
)
)
24
−
24,000
00
00000
00001
05
…
e
π
163
=
(
e
π
i
/
12
η
(
τ
)
η
(
3
τ
)
)
12
−
12,000
00
00000
00000
21
…
e
π
163
=
(
e
π
i
/
6
η
(
τ
)
η
(
5
τ
)
)
6
−
6,000
00
00000
00000
034
…
{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/24}\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{24}-24{,}00000\ 00000\ 00001\ 05\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/12}\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{12}-12{,}00000\ 00000\ 00000\ 21\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/6}\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right)^{6}-6{,}00000\ 00000\ 00000\ 034\dots \end{aligned}}}
gdzie ilorazy
η
{\displaystyle \eta }
są podanymi powyżej liczbami algebraicznymi.
Kolejne liczby pierwsze
edytuj
Dla danej liczby pierwszej
p
{\displaystyle p}
jeśli obliczymy
k
2
(
mod
p
)
{\displaystyle k^{2}{\pmod {p}}}
dla
k
=
0
,
1
,
…
,
(
p
−
1
)
/
2
{\displaystyle k=0,1,\dots ,(p-1)/2}
(to jest wystarczające, bo
(
p
−
k
)
2
≡
k
2
(
mod
p
)
{\displaystyle (p-k)^{2}\equiv k^{2}{\pmod {p}}}
), to otrzymamy kolejne liczby złożone, następujące po kolejnych liczbach pierwszych, wtedy i tylko wtedy, gdy
p
{\displaystyle p}
jest liczbą Heegnera[13] .
↑ Można je sprawdzić obliczając
e
π
d
−
744
3
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{e^{\pi {\sqrt {d}}}-744}}}
na kalkulatorze i przyjmując
196
884
/
e
π
d
{\displaystyle 196\ 884/e^{\pi {\sqrt {d}}}}
w wyrażeniu liniowym dla błędu.
↑ Conway i Guy 1996 ↓ , s. 224.
↑ OEIS A003173 . [dostęp 2016-06-26]. (ang. ) .
↑ Heegner 1952 ↓ , s. 227–253.
↑ Stark 2011 ↓ , s. 35, 37.
↑ Stark 1969 ↓ , s. 16, 27.
↑ Rabinowitz 1913 ↓ , s. 418–421.
↑ Le Lionnais 1983 ↓ , s. 88, 144.
↑ Barrow 2002 ↓ .
↑ Conway i Guy 1996 ↓ , s. 225.
↑ Gardner 1975 ↓ , s. 127.
↑ Pi Formulas . [dostęp 2016-06-26]. (ang. ) .
↑ Extending Ramanujan’s Dedekind Eta Quotients . [dostęp 2016-06-27]. (ang. ) .
↑ Simple Complex Quadratic Fields . [dostęp 2016-06-27]. (ang. ) .
Bibliografia
edytuj
John D. Barrow : The Constants of Nature . Londyn: Jonathan Cape, 2002. ISBN 0-224-06135-6 . (ang. ) .
John Horton Conway , Richard K. Guy: The Book of Numbers . Springer, 1996. ISBN 0-387-97993-X . (ang. ) .
Martin Gardner . Mathematical Games . „Scientific American”. 232 (4), kwiecień 1975. Scientific American, Inc. DOI : 10.1038/scientificamerican0475-126 . ISSN 0036-8733 . (ang. ) .
Kurt Heegner . Diophantische Analysis und Modulfunktionen . „Mathematische Zeitschrift”. 56 (3), s. 227–253, 1952. DOI : 10.1007/BF01174749 . (niem. ) .
François Le Lionnais : Les nombres remarquables . Paryż: Hermann, 1983. ISBN 978-2705614072 . (fr. ) .
Georg Rabinowitz : Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern. W: Proceedings of the Fifth International Congress of Mathematicians . Ernest William Hobson, Augustus Edward Hough Love. T. 1. Cambridge: Cambridge University Press, 1913. OCLC 1401628 . (niem. ) .
Harold M. Stark . On the „Gap” in the Theorem of Heegner . „Journal of Number Theory”. 1, 1969. DOI : 10.1016/0022-314X(69)90023-7 . ISSN 0022-314X . (ang. ) .
Harold M. Stark: The Origin of the „Stark” conjectures. W: Arithmetic of L-functions . Edytorzy Cristian Popescu , Karl Rubin i Alice Silverberg . Providence: American Mathematical Society, 2011, seria: IAS/Park City mathematics series. ISBN 978-0-8218-5320-7 . (ang. ) .