Macierz antyhermitowska

Macierz antyhermitowska – macierz kwadratowa $A$ o elementach zespolonych $a_{i,j},$ w której elementy leżące symetrycznie względem głównej przekątnej są wzajemnie zminusowanym sprzężeniem:

$a_{i,j}=-{\overline {a_{j,i}}}.$

Symbolicznie można to zapisać jako:

$A^{\dagger }=-A,$

gdzie $\dagger$ oznacza sprzężenie hermitowskie macierzy.

Macierze antyhermitowskie można traktować jako zespolony odpowiednik rzeczywistych macierzy antysymetrycznych lub jako macierzowy odpowiednik liczb urojonych (wraz z zerem).

Macierze antyhermitowskie wymiaru $n\times n$ tworzą algebrę Liego $u(n),$ która generuje grupę Liego $U(n)$ macierzy unitarnych.

Macierze antyhermitowskie o śladzie równym 0 wymiaru $n\times n$ tworzą algebrę Liego $su(n),$ która generuje grupę Liego $U(n)$ specjalnych macierzy unitarnych (tj. macierzy unitarnych o wyznaczniku równym 1).

Pojęcie może zostać uogólnione na przekształcenia liniowe zespolonej przestrzeni wektorowej z normą półtoraliniową.

Przykłady

• ${\begin{bmatrix}0&2+i\\-(2-i)&0\end{bmatrix}},\ \ {\begin{bmatrix}-i&2+i\\-(2-i)&0\end{bmatrix}}$

• Macierze Pauliego mnożone przez jednostkę urojoną $i,$ tj.

$i\sigma _{1}=i\left[{\begin{matrix}0&&1\\1&&0\end{matrix}}\right],\ {}$ $i\sigma _{2}=i\left[{\begin{matrix}0&&\!\!\!-i\\i&&0\end{matrix}}\right],\ {}$ $i\sigma _{3}=i\left[{\begin{matrix}1&&0\\0&&\!\!\!-1\end{matrix}}\right].$

Twierdzenia

• Wartości własne macierzy antyhermitowskiej są zerami lub liczbami urojonymi.
• Macierze antyhermitowskie są macierzami normalnymi, stąd są one diagonalizowalne, a ich wektory własne dla różnych wartości własnych muszą być prostopadłe.
• Elementy głównej przekątnej macierzy antyhermitowskiej są zerami lub liczbami urojonymi.
• Jeżeli $A,B$ są macierzami antyhermitowskimi, to $a\,A+b\,B$ jest macierzą antyhermitowską dla wszystkich skalarów $a,b$ rzeczywistych.
• Jeżeli $A$ jest macierzą antyhermitowską, to zarówno macierze $i\,A$ oraz $-i\,A$ są hermitowskie.
• Jeżeli $A$ jest macierzą antyhermitowską, to dla liczby parzystej $k$ macierz $A^{k}$ jest hermitowska, a dla liczby nieparzystej $k$ macierz $A^{k}$ jest antyhermitowska.

• Macierz $\left(A+A^{\dagger }\right)$ jest hermitowska.
• Macierz $\left(A-A^{\dagger }\right)$ jest antyhermitowska.

Wynika stąd, że:

• komutator macierzy hermitowskiej jest macierzą antyhermitowską, tj. $\left[A,B\right]^{\dagger }=-\left[A,B\right],$

• dowolną (kwadratową) macierz $C$ można jednoznacznie zapisać jako sumę macierzy hermitowskiej $A$ i macierzy antyhermitowskiej $B$

$C=A+B\quad {\mbox{gdzie}}\quad A={\frac {1}{2}}(C+C^{\dagger }),\ \ \quad B={\frac {1}{2}}(C-C^{\dagger })$

• Jeżeli macierz $A$ jest antyhermitowska, to $e^{A}$ jest macierzą unitarną (por. eksponenta macierzy).
• Przestrzeń macierzy antyhermitowskich wymiaru $n\times n$ tworzy algebrę Liego $u(n)$ grupy macierzy unitarnych $U(n).$
• Przestrzeń macierzy antyhermitowskich wymiaru $n\times n$ bezśladowych (tj. o śladzie równym 0) tworzy algebrę Liego $su(n)$ specjalnej grupy macierzy unitarnych $SU(n).$

Ogólna postać macierzy antyhermitowskiej. Algebry Liego

Macierze antyhermitowskie wymiaru $n\times n$ mają na przekątnej liczby urojone lub zera, a wyrazy poza przekątną są w ogólności zespolone i takie, że wyrazy leżące symetrycznie względem przekątnej są postaci $a$ oraz $-{\overline {a}},$ gdzie ${\overline {a}}$ – liczba sprzężona do liczby $a.$

Macierze hermitowskie wymiaru $n\times n$ mają więc ogólną postać

${\begin{bmatrix}ip_{1}&a&b&\cdots \\-{\overline {a}}&ip_{2}&c&\cdots \\-{\overline {b}}&-{\overline {c}}&ip_{3}&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{bmatrix}},\;p_{1},p_{2},p_{3},\dots \in \mathbb {R} ,a,b,c,\dots \in \mathbb {C}$

gdzie:

• $i$ – jednostka urojona,
• ${\overline {a}},{\overline {b}},{\overline {c}},\dots$ – sprzężenia zespolone liczb $a,b,c,\dots$

Macierze te zależą w ogólności od $n^{2}$ parametrów rzeczywistych i tworzą przestrzeń wektorową $n^{2}$ – wymiarową. Macierze bezśladowe wymiaru $n\times n$ zależą od $n^{2}-1$ parametrów (warunek $Tr(A)=0$ daje jedno dodatkowe równanie, które pozwala obliczyć jeden z parametrów w zależności od pozostałych) i tworzą podprzestrzeń, która jest algebrą Liego $su(n).$ Powyższe stwierdzenia omówimy na przykładach.

Macierze antyhermitowskie 2 × 2

– mają ogólną postać

${\begin{bmatrix}ip_{1}&a\\-{\overline {a}}&ip_{2}\end{bmatrix}},\;p_{1},p_{2}\in \mathbb {R} ,\;\;a\in \mathbb {C} .$

Widać, że macierze te w ogólności zależą od 4 parametrów $\mathrm {re} \;a,\,\mathrm {im} \;a,\,p_{1},\,p_{2}$ i tworzą przestrzeń wektorową 4-wymiarową.

Macierze bezśladowe tworzą podprzestrzeń $2^{2}-1=3$ – wymiarową, która jest algebrą Liego su(2). Bazą tej przestrzeni są np. macierze Pauliego mnożone przez jednostkę urojoną $i..$

Macierze antyhermitowskie 3 × 3

– mają ogólną postać

${\begin{bmatrix}ip_{1}&a&b\\-{\overline {a}}&ip_{2}&c\\-{\overline {b}}&-{\overline {c}}&ip_{3}\end{bmatrix}},\;p_{1},p_{2},p_{3}\in \mathbb {R} ,\;\;a,b,c\in \mathbb {C} .$

Macierze te zależą w ogólności od $3^{2}=9$ parametrów rzeczywistych (3 liczby na przekątnej, 3 części rzeczywiste i 3 zespolone liczb $a,b,c$) i tworzą przestrzeń wektorową $9$ – wymiarową. Macierze bezśladowe wymiaru $3\times 3$ zależą od $3^{2}-1=8$ parametrów i tworzą podprzestrzeń $8$ -wymiarową, która jest algebrą Liego su(3). Generatorami tej algebry są np. macierze Gell-Manna mnożone przez jednostkę urojoną $i.$

Zobacz też

• macierz hermitowska
• specjalna grupa unitarna SU(n)

Bibliografia

• Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1985. ISBN 978-0-521-38632-6.
• Carl D. Meyer: Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. Society for Industrial and Applied Mathematics, 2000. ISBN 978-0-89871-454-8.