Rozmaitość pseudoriemannowska

Rozmaitość pseudoriemannowska (przestrzeń pseudoriemannowska) $(M,p,q)$ – uogólnienie rozmaitości riemannowskiej: tensor metryczny $g_{\mu \nu }(x)$ może tu być zarówno określony dodatnio, jak i nieokreślony, przy czym element liniowy poprzez odpowiedni wybór współrzędnych krzywoliniowych można sprowadzić – przynajmniej lokalnie, tj. w otoczeniu każdego punktu $x\in M$ – do postaci diagonalnej

$ds^{2}\!(x)=\sum _{i=1}^{p}g_{ii}\!(x)(dx^{i})^{2}-\sum _{i=p+1}^{p+q}g_{ii}\!(x)(dx^{i})^{2},$

gdzie:

$g_{ij}(x)>0,\,\,i=1,\dots ,p+q$ – współrzędne tensora metrycznego w otoczeniu punktu $x,$

$dx^{i},\,i=1,\dots ,n$ – współrzędne wektora $dx=(dx^{1},\dots ,dx^{n})$ łączącego dany punkt $x$ z infinitezymalnie blisko położonym innym punktem przestrzeni.

Tensor metryczny przestrzeni pseudoriemannowskiej ma więc sygnaturę $(p,q).$

Szczególnie ważnymi przypadkami są: 4-wymiarowa rozmaitość pseudoriemannowska (rozmaitość lorentzowska), stanowiąca model zakrzywionej czasoprzestrzeni ogólnej teorii względności, 4-wymiarowa rozmaitość pseudoeuklidesowa (rozmaitość Minkowskiego), stanowiąca model niezakrzywionej czasoprzestrzeni szczególnej teorii względności.

Nazwa rozmaitości pochodzi od Bernharda Riemanna.

Sygnatura metryki

W $n$-wymiarowej rozmaitości tensor metryczny $g_{\mu \nu }$ określony w układzie ortogonalnych współrzędnych krzywoliniowych ma współrzędne niezerowe tylko na diagonali, przy czym liczba dodatnich, ujemnych oraz zerowych współrzędnych $g_{\mu \nu }$ tensora jest niezależna od wyboru ortogonalnego układu współrzędnych (tzw. prawo bezwładności Sylvestra). Liczby te tworzą tzw. sygnaturę $(p,q,r)$ tensora metrycznego.

Tensor nazywa się zdegenerowanym, jeżeli $r>0.$

Tensor nazywa się niezdegenerowanym, jeżeli $r=0$ – wtedy jego sygnaturę zapisuje się w postaci $(p,q).$

Definicja

Definicja:

Rozmaitością pseudoriemannowską $(M,g)$ nazywa się rozmaitość różniczkową $M,$ w której odległość punktu infinitezymalnie odległego od danego punktu $x$ zdana jest elementem liniowym w postaci

$ds^{2}(x)=\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(x)dx_{i}dx_{j},$

gdzie:

(a) $g_{ij}=g_{ji}$ dla $i,j=1,\dots ,n,$

(b) istnieją ciągłe pochodne ${\frac {\partial g_{ij}(x)}{\partial x_{k}}}$ dla $x\in M$ względem wszystkich współrzędnych $x_{k},k=1,2,\dots ,n,$

(c) tensor metryczny ma sygnaturę $(p,q),$ przy czym w ogólności $p>0$ oraz $q>0.$

Tensor metryczny definiowany za pomocą powyższego elementu liniowego jest więc symetryczny, gładki w każdym punkcie $x$ rozmaitości, niezdegenerowany, ale w ogólności jest nieokreślony. Oznacza to, że wielkość elementu linowego $ds^{2}(x)$ w ogólnym przypadku może być np. liczbą ujemną.

Ponadto miara odległości przypisywana punktom rozmaitości w ogólnym wypadku nie jest metryką, ale pseudometryką, gdyż dla punktów nieidentycznych może przyjmować wartości zerowe. Jest tak np. dla zdarzeń czasoprzestrzennych, związanych z poruszaniem się światła, opisywanych przez szczególną teorię względności i ogólną teorię względności, dla których odległość w czasoprzestrzeni zawsze jest równa zeru.

Przestrzeń styczna

Przestrzeń styczna $T_{x}M$ 2-wymiarowa (czyli płaszczyzna) do 2-wymiarowej rozmaitości $M$ (powierzchni) w punkcie $x$ oraz wektor styczny $v\in T_{x}M$ do krzywej $\gamma$ przechodzącej przez punkt $x\in M.$

Rozmaitość $M$ w ogólnym przypadku nie jest przestrzenią wektorową, gdyż jej punktów nie można np. odejmować i mnożyć przez skalar, tak jak to wykonuje się na wektorach.

Np. punktom na powierzchni sfery (czy innej powierzchni 2-wymiarowej) nie da się przypisać wektorów, np. o początku w środku sfery, gdyż dodawanie takich wektorów w ogólności nie dałoby w wyniku punktu leżącego na sferze. Wektory można wprowadzić w przestrzeni płaskiej, np. na płaszczyźnie stycznej do sfery.

Aby zdefiniować wektory w rozmaitości postępuje się następująco: w każdym punkcie $x$ rozmaitości definiuje się przestrzeń styczną $T_{x}M,$ utworzoną z wektorów stycznych do krzywych leżących rozmaitości. Przestrzeń styczna jest już przestrzenią wektorową. Tu definiuje się wektory zaczepione do punktu $x.$ Mogą one reprezentować np. pola fizyczne, obecne w poszczególnych punktach rozmaitości.

Wektory na rozmaitości

Na wektorach określonych w przestrzeniach stycznych można wykonywać zwykłe operacje jak dodawanie, mnożenie przez skalar, czy iloczyn skalarny wektorów. Długości wektorów nie określa jednak norma, jak to jest w przestrzeniach euklidesowych, ale tzw. pseudonorma, która przyjmuje wartości zerowe także dla niektórych wektorów niezerowych.

Metryka w przestrzeni pseudoriemannowskiej

Powierzchnia hiperboloidy obrotowej czy też 4-wymiarowa czasoprzestrzeń opisywana w ogólnej teorii względności są przykładami przestrzeni nieeuklidesowych, które określa się jako rozmaitości pseudoriemannowskie.

Nie da się w ogólnym przypadku wprowadzić tu metryki opisanej prostym wzorem, tak jak w przestrzeniach liniowych, np. przestrzeń euklidesowa. Podstawową rolę gra tu tensor metryczny.

Niech $M$ będzie rozmaitością wymiaru $n$ i niech dany będzie układ współrzędnych krzywoliniowych, tak że każdy punkt rozmaitości ma określone współrzędne krzywoliniowe $\mathbf {x} =(x^{1},\dots ,x^{n}).$

Odległość infinitezymalna

Tensor metryczny definiuje infinitezymalne odległości między punktami: długość wektora $d\mathbf {x} =(dx^{1},\dots ,dx^{n})$ łączącego punkt $\mathbf {x}$ z infinitezymalnie odległym punktem $\mathbf {y} =\mathbf {x} +d\mathbf {x}$ zadana jest wzorem

$|d\mathbf {x} |={\sqrt {\left|\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\mathbf {x} )dx^{i}dx^{j}\right|}},$

gdzie:

$g_{ij}(\mathbf {x} ),i,j=1,\dots ,n,$

to współrzędne tensora metrycznego (będące funkcjami położenia $\mathbf {x}$).

Odległość dowolnych punktów

Dla punktów $\mathbf {x} ,\mathbf {y}$ rozmaitości $M$ dowolnie odległych metrykę definiuje się jako kres dolny zbioru, zawierającego długości krzywych $\gamma$ ciągłych i różniczkowalnych, łączących punkty $\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,$ czyli

$d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\inf \,\{L(\gamma ),\gamma \in M\,,\gamma (a)=\mathbf {x} ,\gamma (b)=\mathbf {y} \},$

gdzie:

$\inf \,\{\dots \}$   – infimum, czyli kres dolny zbioru,

$L(\gamma )=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {{\Bigg |}\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\gamma (t)){\frac {d\gamma ^{i}(t)}{dt}}{\frac {d\gamma ^{j}(t)}{dt}}{\Bigg |}}}\,dt$   – długość krzywej $\gamma .$

przy czym krzywa $\gamma$ dana jest przez $n$ równań parametrycznych

$\gamma (t)=[\gamma ^{1}(t),\dots ,\gamma ^{n}(t)],\quad t\in \langle a,b\rangle$

oraz

$\gamma (a)=\mathbf {x} ,\,\,\gamma (b)=\mathbf {y} .$

Dla przestrzeni riemannowskich (np. sfera) i pseudoriemannowskich (np. pseudosfera) odległość punktów jest wyznaczona przez łuk krzywej geodezyjnej. (W przypadku sfery będzie to łuk koła wielkiego, łączącego dwa dane punkty). Czasoprzestrzeń jest 4-wymiarową przestrzenią pseudoriemannowską. Odległość w przestrzeniach pseudoriemannowskich może być zerowa. Np. w czasoprzestrzeni jest tak dla punktów – tzw. zdarzeń czasoprzestrzennych – które są związane z rozchodzeniem się sygnału świetlnego.

Tensor krzywizny

Tensor krzywizny jest na ogół niediagonalny w poszczególnych punktach przestrzeni, co oznacza, że geometria na rozmaitości jest nieeuklidesowa.

Rodzaje rozmaitości pseudoriemannowskich

Rozmaitość pseudoeuklidesowa

Sfera (powierzchnia kuli) – to dwuwymiarowa rozmaitość: a) w dużej skali mamy geometrię nieeuklidesową – suma kątów dużego trójkąta jest > 180°, b) lokalnie mamy geometrię euklidesową – suma kątów małego trójkąta = 180°, niewielkie fragmenty sfery można odwzorować wzajemnie jednoznacznie na dwuwymiarową płaszczyznę.

Szczególnym przypadkiem rozmaitości pseudoriemannowskiej jest przestrzeń pseudoeuklidesowa $\mathbb {R} ^{p,q},$ której element liniowy można sprowadzić jednocześnie w całej przestrzeni (globalnie) – poprzez odpowiedni wybór układu współrzędnych – do postaci diagonalnej, tj.

$ds^{2}(x)=dx_{1}^{2}+\ldots +dx_{p}^{2}-dx_{p+1}^{2}-\ldots -dx_{p+q}^{2}$

dla każdego $x\in \mathbb {R} ^{p,q}.$

Tensor metryczny ma więc tu sygnaturę $(p,q).$

Tensor krzywizny zaś ma zerujące się współrzędne – przestrzeń jest więc płaska.

Przestrzenią pseudoeuklidesową jest każda przestrzeń lokalnie styczna do rozmaitości pseudoriemannowskiej.

Rozmaitość lorentzowska

Rozmaitość lorentzowska jest to rozmaitość pseudoriemannowska w ogólności n-wymiarowa, gdzie dokładnie jeden z elementów sygnatury ma znak przeciwny do pozostałych elementów, tj. sygnatura metryki jest postaci $(1,n-1)$ (lub równoważnie $(n-1,1)$). Element liniowy rozmaitości poprzez wybór układu współrzędnych można lokalnie sprowadzić do postaci diagonalnej, tj.

$ds^{2}(x)=(dx^{1})^{2}-(dx^{2})^{2}-\ldots -(dx^{n})^{2}.$

Jeżeli dałoby się uzyskać taką postać elementu liniowego jednocześnie w całej przestrzeni, to rozmaitość lorentzowska zredukowałaby się do niezakrzywionej rozmaitości pseudoeuklidesowej.

Rozmaitość lorentzowska 4-wymiarowa

Rozmaitość lorentzowska 4-wymiarowa służy do modelowania czasoprzestrzeni w ogólnej teorii względności, gdzie wymiar czasowy ma przeciwny znak do wymiarów przestrzennych. Różnica w znakach wynika z niezmienniczości prędkości światła względem dowolnego układu odniesienia. Zmiana tensora metrycznego czasoprzestrzeni, prowadząca do jej zakrzywienia, powstaje na skutek obecności materii (patrz: równania Einsteina).

Element liniowy

Element liniowy rozmaitości ma postać:

$ds^{2}(x)=\sum _{i,j=0}^{3}g_{ij}(x)\,dx^{i}dx^{j},$

przy czym po sprowadzeniu lokalnie (tj. w pobliżu wybranego punktu x) do postaci diagonalnej ma on postać

$ds^{2}(x)=(dx^{0})^{2}-(dx^{1})^{2}-(dx^{2})^{2}-(dx^{3})^{2}$

lub

$ds^{2}(x)=-(dx^{0})^{2}+(dx^{1})^{2}+(dx^{2})^{2}+(dx^{3})^{2},$

tj. tensor metryczny ma sygnaturę $(1,3)$ lub $(3,1).$

Czterowektory

Wektory leżące w przestrzeniach stycznych do rozmaitości czasoprzestrzennej nazywa się czterowektorami. Długości czterowektorów określa pseudonorma, która przyjmuje wartości dodatnie (tzw. wektory czasopodobne), zerowe (tzw. wektory zerowe) oraz ujemne (tzw. wektory przestrzennopodobne).

Czasoprzestrzeń Minkowskiego

Czasoprzestrzeń Minkowskiego jest 4-wymiarową przestrzenią pseudoeuklidesową (tj. płaską przestrzenią pseudoriemannowską), gdzie tensor metryczny $g$ ma sygnaturę $(1,3)$ i zdany jest elementem liniowym globalnie, tj. w całej przestrzeni identycznie dla każdego punktu $x\in M,$ w postaci

$ds^{2}=(dx^{0})^{2}-(dx^{1})^{2}-(dx^{2})^{2}-(dx^{3})^{2}.$

Przestrzeń ta stanowi podstawę matematycznego opisu czasoprzestrzeni w szczególnej teorii względności. Czasoprzestrzeń Minkowskiego poprawnie opisuje czasoprzestrzeń fizyczną, jeżeli można pominąć oddziaływania grawitacyjnie lub ruch z dużymi przyśpieszeniami.

Zobacz też

• metryka Schwarzschilda
• przestrzeń pseudometryczna
• rozmaitość
• rozmaitość riemannowska
• rozmaitość topologiczna
• tensor krzywizny

Bibliografia

• Marek Kordos: O różnych geometriach. Warszawa: Alfa, 1987, seria: Delta przedstawia. ISBN 83-7001-087-3.brak strony w książce
• G.A. Korn, T.M. Korn, Matematyka dla pracowników naukowych i inżynierów, cz. 2, PWN, Warszawa 1983.