Otwórz menu główne

Trapez

czworokąt z przynajmniej jedną parą boków równoległych
Ten artykuł dotyczy pojęcia geometrycznego. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Trapezczworokąt (wypukły) mający przynajmniej jedną parę równoległych boków; (wybraną) parę boków równoległych nazywa się podstawami, pozostałe boki noszą nazwę ramion, odległość między podstawami nazywa się wysokością trapezu. Niektóre potoczne definicje określają trapez jako czworokąt mający tylko jedną parę boków równoległych i zgodnie z nimi równoległobok nie jest trapezem[1][2].

Trapez z oznaczeniami

WłasnościEdytuj

Ponieważ ramię trapezu jest sieczną (transwersalą) podstaw (zob. kąty wyznaczane przez proste), to suma miar kątów wewnętrznych leżących przy tym samym ramieniu dowolnego trapezu jest równa 180° (jako para kątów jednostronnych wewnętrznych).

Jeśli   oznacza punkt przecięcia przekątnych, to trójkąty   i   mają równe pola[a], a trójkąty   i  podobne (co wynika wprost z twierdzenia Talesa).

Pole powierzchni trapezu wyraża się jako iloczyn połowy sumy długości podstaw oraz jego wysokości, czyli dane jest wzorem

 

gdzie   to długości podstaw, a   to jego wysokość. Istnieje również wzór na pole powierzchni trapezu wykorzystujący wyłącznie długości boków (podstaw i ramion):

 

gdzie   oznaczają długości odpowiednio dłuższej i krótszej podstawy, zaś   to długości ramion[b].

Przypadki szczególneEdytuj

 
Trapez równoramienny (niebędący równoległobokiem) z oznaczeniami
 
Trapez prostokątny z oznaczeniami

Trapez równoramienny – trapez o ramionach równej długości. Jeśli taki trapez nie jest równoległobokiem niebędącym prostokątem, to ma on oś symetrii: przechodzącą przez środki podstaw ich wspólną symetralną. W tym przypadku kąty między ramionami a daną podstawą są równe, a kąty przeciwległe sumują się do 180°; stąd można go wtedy wpisać w okrąg.

Pole powierzchni trapezu równoramiennego można wyrazić wzorem

 

gdzie   oznacza długość przekątnej trapezu (obie mają równą długość), a   to kąt między przekątnymi trapezu.

Trapez prostokątny – trapez, którego kąt wewnętrzny jest prosty, tj. ma miarę 90° ramię trapezu jako sieczna (transwersala) podstaw (zob. kąty wyznaczane przez proste) przecina je obie pod kątem prostym, dlatego trapez prostokątny musi mieć co najmniej dwa kąty proste. Szczególnym przypadkiem trapezu prostokątnego jest prostokąt (który ma cztery kąty wewnętrzne proste).

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Dowód: Trójkąty   i   mają wspólną podstawę i równą wysokość, a zatem równe pola. Trójkąty   i   powstają z nich przez „odjęcie” trójkąta  
  2. Dla   wzór sprowadza się do wzoru Herona dla trójkąta o bokach o długościach  

PrzypisyEdytuj

  1. Słownik języka polskiego. PWN, 1981.
  2. Słownik języka polskiego (online). PWN. [dostęp 2001-01-09].