Trapez

Trapez – czworokąt z przynajmniej jedną parą równoległych boków^[1]. Czasem zakłada się dokładnie jedną taką parę, co oznacza, że równoległobok nie jest trapezem^[2]^[1].

Boki równoległe nazywa się podstawami, pozostałe ramionami, a odcinek łączący podstawy i prostopadły do nich – oraz jego długość, czyli odległość między podstawami – wysokością trapezu^[1]. Wszystkie trapezy są wypukłe^{[potrzebny przypis]}.

Własności

Kąty

Dla dowolnego trapezu suma miar kątów wewnętrznych leżących przy tym samym ramieniu jest równa 180°^[1]. Jest tak, ponieważ ramię trapezu jest sieczną (transwersalą) podstaw – zob. kąty wyznaczane przez proste; kąty przy tym samym ramieniu to para kątów jednostronnych wewnętrznych.

Przekątne

Jeśli $P$ oznacza punkt przecięcia przekątnych, to^{[potrzebny przypis]}:

trójkąty $ADP$ i $BCP$ mają równe pola^[a];
trójkąty $ABP$ i $CDP$ są podobne, co wynika wprost z twierdzenia Talesa.

Pole powierzchni

Jest to iloczyn wysokości i średniej arytmetycznej długości podstaw – połowy ich sumy^[1]^[3]:

S={\frac {a+b}{2}}\ h

gdzie $a,b$ to długości podstaw, a $h$ to jego wysokość.

Inny wzór na pole powierzchni trapezu zawiera długości wszystkich boków (podstaw i ramion)^{[potrzebny przypis]}:

S={\frac {1}{4}}{\frac {a+b}{|a-b|}}\ {\sqrt {|a-b|+c+d}}\ {\sqrt {|a-b|+c-d}}\ {\sqrt {|a-b|-c+d}}\ {\sqrt {-|a-b|+c+d}}

gdzie $a\neq b$ to długości podstaw, $c,d$ – długości ramion^[b].

Przypadki szczególne

Trapez równoramienny

Trapez równoramienny (niebędący równoległobokiem) z oznaczeniami

Trapez o ramionach równej długości^[1]. Jeśli taki trapez nie jest równoległobokiem niebędącym prostokątem, to ma on oś symetrii: przechodzącą przez środki podstaw ich wspólną symetralną. W tym przypadku kąty między ramionami a daną podstawą są równe, a kąty przeciwległe sumują się do 180°; stąd można go wtedy wpisać w okrąg.

Pole powierzchni trapezu równoramiennego można wyrazić wzorem^{[potrzebny przypis]}

S={\frac {g^{2}}{2}}\ \sin \varphi ,

gdzie $g$ oznacza długość przekątnej trapezu (obie mają równą długość), a $\varphi$ to kąt między przekątnymi trapezu.

Trapez prostokątny

Trapez prostokątny z oznaczeniami

Trapez, którego kąt wewnętrzny jest prosty, tj. ma miarę 90°^[1]. Ramię trapezu jako sieczna (transwersala) podstaw (zob. kąty wyznaczane przez proste) przecina je obie pod kątem prostym, dlatego trapez prostokątny musi mieć co najmniej dwa kąty proste. Szczególnym przypadkiem trapezu prostokątnego jest prostokąt – ma on cztery kąty wewnętrzne proste.

Zobacz też

Uwagi

↑ Dowód: Trójkąty $ABC$ i $ABD$ mają wspólną podstawę i równą wysokość, a zatem równe pola. Trójkąty $BCP$ i $ADP$ powstają z nich przez „odjęcie” trójkąta $ABP.$
↑ Dla $b=0$ wzór sprowadza się do wzoru Herona dla trójkąta o bokach o długościach $a,c,d.$

Przypisy

↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g trapez, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-09-29] .
↑ Słownik języka polskiego. PWN, 1981.
↑ Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 9, ISBN 978-83-940902-1-0 .

Linki zewnętrzne

Artykuły na Zintegrowanej Platformie Edukacyjnej, zpe.gov.pl [dostęp 2024-05-28]:
- Paweł Dziuba, Trapez i jego własności;
- Bogdan Staruch, Odcinek łączący środki ramion trapezu;
- Tomasz Paszek, Pole trapezu.
Dowody wzoru na pole trapezu, zadania.info [dostęp 2024-05-28].

[3] Dowód: Trójkąty $ABC$ i $ABD$ mają wspólną podstawę i równą wysokość, a zatem równe pola. Trójkąty $BCP$ i $ADP$ powstają z nich przez „odjęcie” trójkąta $ABP.$

[5] Dla $b=0$ wzór sprowadza się do wzoru Herona dla trójkąta o bokach o długościach $a,c,d.$

[epwn-1] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g trapez, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-09-29] .

[2] Słownik języka polskiego. PWN, 1981.

[cke-4] Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 9, ISBN 978-83-940902-1-0 .

[1]

[2]

[a]

[3]

[b]