Trapez

Trapez – czworokąt (wypukły) mający przynajmniej jedną parę równoległych boków^[1]; (wybraną) parę boków równoległych nazywa się podstawami, pozostałe boki noszą nazwę ramion, odległość między podstawami nazywa się wysokością trapezu. Niektóre potoczne definicje określają trapez jako czworokąt mający tylko jedną parę boków równoległych i zgodnie z nimi równoległobok nie jest trapezem^[2].

Własności edytuj

Ponieważ ramię trapezu jest sieczną (transwersalą) podstaw (zob. kąty wyznaczane przez proste), to suma miar kątów wewnętrznych leżących przy tym samym ramieniu dowolnego trapezu jest równa 180° (jako para kątów jednostronnych wewnętrznych).

Jeśli $P$ oznacza punkt przecięcia przekątnych, to trójkąty $ADP$ i $BCP$ mają równe pola^[a], a trójkąty $ABP$ i $CDP$ są podobne (co wynika wprost z twierdzenia Talesa).

Pole powierzchni trapezu wyraża się jako iloczyn połowy sumy długości podstaw oraz jego wysokości:^[3]:

S={\frac {a+b}{2}}\ h

gdzie $a,b$ to długości podstaw, a $h$ to jego wysokość.

Inny wzór na pole powierzchni trapezu zawiera długości wszystkich boków (podstaw i ramion):

S={\frac {1}{4}}{\frac {a+b}{|a-b|}}\ {\sqrt {|a-b|+c+d}}\ {\sqrt {|a-b|+c-d}}\ {\sqrt {|a-b|-c+d}}\ {\sqrt {-|a-b|+c+d}}

gdzie $a\neq b$ to długości podstaw, $c,d$ - długości ramion^[b].

Przypadki szczególne edytuj

Trapez równoramienny (niebędący równoległobokiem) z oznaczeniami

Trapez prostokątny z oznaczeniami

Trapez równoramienny – trapez o ramionach równej długości. Jeśli taki trapez nie jest równoległobokiem niebędącym prostokątem, to ma on oś symetrii: przechodzącą przez środki podstaw ich wspólną symetralną. W tym przypadku kąty między ramionami a daną podstawą są równe, a kąty przeciwległe sumują się do 180°; stąd można go wtedy wpisać w okrąg.

Pole powierzchni trapezu równoramiennego można wyrazić wzorem

S={\frac {g^{2}}{2}}\ \sin \varphi

gdzie $g$ oznacza długość przekątnej trapezu (obie mają równą długość), a $\varphi$ to kąt między przekątnymi trapezu.

Trapez prostokątny – trapez, którego kąt wewnętrzny jest prosty, tj. ma miarę 90° ramię trapezu jako sieczna (transwersala) podstaw (zob. kąty wyznaczane przez proste) przecina je obie pod kątem prostym, dlatego trapez prostokątny musi mieć co najmniej dwa kąty proste. Szczególnym przypadkiem trapezu prostokątnego jest prostokąt (który ma cztery kąty wewnętrzne proste).

Zobacz też edytuj

Uwagi edytuj

↑ Dowód: Trójkąty $ABC$ i $ABD$ mają wspólną podstawę i równą wysokość, a zatem równe pola. Trójkąty $BCP$ i $ADP$ powstają z nich przez „odjęcie” trójkąta $ABP.$
↑ Dla $b=0$ wzór sprowadza się do wzoru Herona dla trójkąta o bokach o długościach $a,c,d.$

Przypisy edytuj

↑ trapez, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-09-29] .
↑ Słownik języka polskiego. PWN, 1981.
↑ Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 9, ISBN 978-83-940902-1-0 .

Linki zewnętrzne edytuj

Wyprowadzenie wzoru na pole trapezu

[3] Dowód: Trójkąty $ABC$ i $ABD$ mają wspólną podstawę i równą wysokość, a zatem równe pola. Trójkąty $BCP$ i $ADP$ powstają z nich przez „odjęcie” trójkąta $ABP.$

[5] Dla $b=0$ wzór sprowadza się do wzoru Herona dla trójkąta o bokach o długościach $a,c,d.$

[1] trapez, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-09-29] .

[2] Słownik języka polskiego. PWN, 1981.

[cke-4] Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 9, ISBN 978-83-940902-1-0 .

[1]

[2]

[a]

[3]

[b]