Środek odcinka

Środek odcinkapunkt odcinka równo oddalony od jego końców; w geometrii euklidesowej jest to zarazem jego środek symetrii i miejsce przecięcia obydwu osi symetrii danego odcinka.

Geometria syntetycznaEdytuj

KonstrukcjeEdytuj

Pierwsza „szkolna” metoda korzysta z własności geometrii płaszczyzny (przestrzeni) euklidesowej, kolejne dwie są poprawne również w geometrii afinicznej.

Sposób I (symetralna)

Skonstruować symetralną odcinka. Jego środek wyznaczony jest jako punkt przecięcia odcinka i jego symetralnej.

Sposób II (twierdzenie Talesa)

Zgodnie z rysunkiem obok:

  • zaznaczyć punkt   nienależący do odcinka  
  • oznaczyć różny od   punkt   będący punktem przecięcia prostej   i okręgu  
  • nakreślić prostą   i równoległą do niej prostą przechodzącą przez  
  • oznaczyć punkt przecięcia   odcinka   i prostej  

Punkt   jest szukanym środkiem odcinka  

Sposób III (przecięcie przekątnych równoległoboku)

Zgodnie z oznaczeniami na rysunku:

  • nakreślić dwie równoległe proste   przechodzące odpowiednio przez punkty  
  • nakreślić dwie inne równoległe proste   przechodzące odpowiednio przez punkty  
  • wyznaczyć różną od   przekątną powstałego równoległoboku.

Punkt przecięcia przekątnych równoległoboku jest szukanym środkiem odcinka  

Geometrie metryczneEdytuj

W tradycyjnym rozumieniu środek odcinka jest pojęciem metrycznym, dlatego można go definiować nie tylko w geometrii euklidesowej, ale także w innych metrycznych geometriach, takich jak geometria hiperboliczna czy eliptyczna, przy czym w tej drugiej każdy odcinek (rozumiany jako para różnych punktów) ma dwa środki. We wspomnianych trzech geometriach pojęcie to ma ścisły związek z symetralną odcinka.

Geometria afinicznaEdytuj

Konstrukcje II i III pokazują, że środek odcinka można postrzegać jako pojęcie geometrii afinicznej. Mimo iż związek środka odcinka z jego symetralną zanika, to każdy odcinek posiada dokładnie jeden środek, ponieważ każda prosta jest przestrzenią metryczną.

W zamian środek ma silny związkiem z równoległobokiem i jego fundamentalną własnością wyrażaną popularnie jako „przekątne równoległoboku połowią się”, a ściśle

Twierdzenie

Czworobok   jest równoległobokiem (odcinki   są równoległe i równej długości) wtedy i tylko wtedy, gdy punkty przecięcia odcinka   i   pokrywają się.

Powyższa równoważność oznacza, że pojęcie środka można zdefiniować za pomocą pojęcia równoległości i odwrotnie.

WłasnościEdytuj

Środek odcinka jest niezmiennikiem izometrii; w przypadku geometrii euklidesowej prawdziwe jest stwierdzenie ogólniejsze: środek odcinka jest niezmiennikiem podobieństw. W pierwszym przypadku oznacza to, że izometria zachowuje środek odcinka (obrazem środka odcinka jest środek odcinka), w drugim, iż podobieństwa zachowują środek odcinka.

Środek odcinka jest niezmiennikiem dowolnego przekształcenia afinicznego (powinowactwa).

Geometria analitycznaEdytuj

Ponieważ przestrzeń afiniczna nie musi być przestrzenią metryczną, ani przestrzenią unitarną, to do wprowadzenia pojęcie środka odcinka nie są potrzebne pojęcia odległości (metryki) i kąta prostego (iloczynu skalarnego). Co więcej nie jest wymagane nawet pojęcie wnętrza odcinka, co jest równoważne brakowi porządku liniowego w ciele nad którym zbudowana jest przestrzeń liniowa stowarzyszona z daną przestrzenią afiniczną. Konieczne jest jednak, aby wspomniane ciało było charakterystyki większej od 2.

Proste w przestrzeni afinicznej dane są jako jednowymiarowe podprzestrzenie afiniczne, czyli kombinacje afiniczne dwóch wektorów o współczynnikach z danego ciała. Wówczas dla dowolnych dwóch punktów   środkiem wektora   (odcinka skierowanego) jest punkt  

Wynika stąd, że środkiem odcinka o końcach   oraz   jest punkt o współrzędnych  

AksjomatyzacjaEdytuj

W dowolnym niepustym zbiorze   pojęcia środka odcinka można wprowadzić aksjomatycznie. Operację środka definiuje się wtedy jako działanie dwuargumentowe   określone na zbiorze   spełniające następujące aksjomaty dla  

  •   idempotentność,
  •   przemienność,
  •   bi-przemienność.

Strukturę   nazywa się algebrą środka[1].

Własności i uwagiEdytuj

Z podanych aksjomatów dla dowolnych   wynikają następujące własności:

  • samorozdzielność,
     
  • środkiem punktu (odcinka zdegenerowanego) jest on sam,
  •  
  • środek odcinka wyznaczony jest jednoznacznie,
  •  

Niezmienniczość operacji środka względem przekształcenia afinicznego   (odpowiednio zdefiniowanego w algebrze środka) ma postać

 

co oznacza, że przekształcenia afiniczne są homomorfizmami przestrzeni afinicznych.

RelacjaEdytuj

Relacja określona na   wzorem

 

jest relacją równoważności. Klasy abstrakcji względem tej relacji tworzą grupę przemienną, której elementy można traktować jak grupę wektorów swobodnych. Do tego, aby   była przestrzenią afiniczną brakuje tylko mnożenia przez skalar.

UogólnieniaEdytuj

Uogólnienie pojęcia środek odcinka można w pewnym sensie wprowadzić w geometrii rzutowej. Niech   będzie ustaloną prostą płaszczyzny rzutowej do której nie należą dowolnie wybrane dwa punkty   Wówczas  -środek   odcinka   definiuje się jako czwarty punkt harmoniczny spełniający   gdzie   (zob. czworobok zupełny).

Tak określony  -środek zachowuje niemal wszystkie własności środka afinicznego. W powyższy sposób wprowadza się geometrię afiniczną na podstawie geometrii rzutowej: wystarczy wybraną prostą   uznać za horyzont, czyli prostą niewłaściwą.

PrzypisyEdytuj

  1. Wanda Szmielew: Od geometrii afinicznej do euklidesowej. Warszawa: PWN, 1981, seria: BM 55.