Dwunastościan rombowy

Dwunastościan rombowywielościan mający 12 ścian, 14 wierzchołków i 24 krawędzie. Wszystkie ściany są przystającymi rombami, w których stosunek długości przekątnych jest równy skąd wynika, że kąt ostry każdej ściany jest równy

Dwunastościan rombowy
Dwunastościan rombowy
(Kliknij, aby zobaczyć animowany model)
Typ Wielościan Catalana
Ściana romb
Liczba ścian 12
Liczba krawędzi 24
Liczba wierzchołków 14 = 6 + 8
Wielościan dualny Sześcio-ośmiościan

W każdym wierzchołku wielościanu spotykają się 3 lub 4 ściany. W ośmiu wierzchołkach stykają się kątami rozwartymi 3 romby, zaś w pozostałych sześciu wierzchołkach stykają się kątami ostrymi 4 romby. Krótsze przekątne wszystkich ścian są krawędziami sześcianu. Dłuższe przekątne ścian są krawędziami ośmiościanu foremnego. Miarą kąta dwuściennego między sąsiednimi ścianami jest

Dwunastościan rombowy jest wielościanem Catalana dualnym do sześcio-ośmiościanu i dlatego grupa symetrii bryły działa przechodnio na zbiorze ścian. Przechodniość ta oznacza, że dla dwóch ścian i istnieje obrót lub symetria przekształcające bryłę na siebie, a ścianę na ścianę
Grupa symetrii dwunastościanu rombowego działa także przechodnio na zbiorze krawędzi tej bryły.

Sfery związane z dwunastościanem rombowymEdytuj

 
Dwunastościan rombowy (czarne krawędzie) i dualny z nim sześcio-ośmiościan (zielone krawędzie).

Jeśli długość krawędzi dwunastościanu rombowego jest równa   to długości promieni niektórych sfer są następujące:

 
  • promień sfery stycznej do wszystkich 24 krawędzi:
 
każdy punkt styczności leży w odległości   krawędzi od wierzchołka, w którym zbiegają się 3 krawędzie,
 
chodzi o najmniejszą sferę „zamykającą w sobie” dwunastościan rombowy, przechodzi ona przez 6 wierzchołków, w których zbiegają się 4 krawędzie tej bryły.

Pole i objętośćEdytuj

Pole powierzchni   i objętość   dwunastościanu rombowego o krawędzi   są równe:

 
 

Występowanie w przyrodzieEdytuj

 
Kryształ granatu

Niektóre kryształy występujące w przyrodzie przybierają formę dwunastościanu rombowego[1]. Są to przede wszystkim kryształy granatu, ale tę formę przyjmuje wiele innych minerałów, na przykład magnetyt, sodalit, spinel i sfaleryt.

Pszczoły używają geometrii tej bryły do tworzenia plastrów miodu, których komórki są graniastosłupami prawidłowymi, sześciokątnymi zamkniętymi połówkami dwunastościanu rombowego.

Jak można sobie wyobrazić kształt dwunastościanu rombowegoEdytuj

 
Wypełnienie przestrzeni przystającymi dwunastościanami rombowymi.

Krótkie przekątne rombów, i wierzchołki, w których romby stykają się kątami rozwartymi są krawędziami i wierzchołkami sześcianu o objętości równej połowie objętości samego dwunastościanu. Długie przekątne rombów, i wierzchołki, w których romby stykają się kątami ostrymi, są krawędziami i wierzchołkami ośmiościanu foremnego.

Ten dwunastościan można skonstruować, wychodząc z sześcianu, w następujący sposób: budujemy ostrosłup, którego podstawą jest ściana, a wierzchołkiem lustrzane odbicie środka sześcianu w płaszczyźnie ściany, powiększając sześcian o ten ostrosłup; powtarzając to dla wszystkich ścian uzyskamy dwunastościan rombowy, a użyte ostrosłupy będą składać się na kompletny sześcian – więc objętość dwunastościanu będzie 2 razy większa.

Powyższe wywody można zilustrować w układzie współrzędnych w przestrzeni:

  • Punkty   są wierzchołkami sześcianu o ścianach rozpiętych na sześciu czwórkach punktów:            
  • Do powyższych 8 punktów dołączamy 6 następnych:       Są one obrazami początku układu współrzędnych   w symetrii względem poszczególnych ścian, np. punkt   jest obrazem   w symetrii względem ściany   a punkt   – w symetrii względem ściany  
  • 14 wyżej wymienionych punktów jest wierzchołkami dwunastościanu rombowego[2].

Takie dwunastościany mogą wypełnić przestrzeń – żeby skonstruować taki układ wystarczy wyjść z układu sześcianów wypełniających przestrzeń, usunąć z nich co drugi, tak aby z każdych dwóch o wspólnej ścianie jeden został usunięty, i pozostałych użyć do konstrukcji dwunastościanów, odbijając ich środki względem sześciu ścian.

Wielościany pokrewneEdytuj

Dwunastościan rombowy jest elementem ciągu wielościanów rombowych i parkietaży, których grupa symetrii jest [n, 3] grupą Coxetera. Sześcian (geometria) może bowiem być uważany za sześciościan rombowy, gdzie romby są kwadratami.

Wielościan Parkietaż euklidesowy Parkietaż hiperboliczny
[3, 3] [4, 3] [5, 3] [6, 3] [7, 3] [8, 3]
 
Sześcian
 
Dwunastościan rombowy
 
Trzydziestościan rombowy
     

Związki z bryłami czterowymiarowymiEdytuj

Czterowymiarowym odpowiednikiem dwunastościanu rombowego jest 24-komórka[3] (jest to komórka foremna[4]).

Jej wierzchołkami są:

  • 16 wierzchołków czterowymiarowego odpowiednika sześcianu – 8-komórki:   Jej 3-wymiarowymi ścianami są sześciany rozpięte na ośmiu ósemkach punktów:                
  • Ponadto wierzchołkami 24-komórki są obrazy środka   układu współrzędnych w ośmiu ścianach:        

Przekrój 24-komórki przestrzenią 3-wymiarową prostopadłą do największej przekątnej w jej środku jest dwunastościanem rombowym. Wynika to z powyższych opisów obu figur geometrycznych w układzie współrzędnych kartezjańskich.

Dwunastościan jest także otoczką wypukłą rzutu prostokątnego 8-komórki wzdłuż wielkiej przekątnej. Ilustruje to rysunek poniżej. Rzut zielonych punktów jest wtedy środkiem dwunastościanu.

PrzypisyEdytuj

  1. W warszawskim Muzeum Ziemi jeden z wystawionych w ekspozycji kryształów ma formę dwunastościanu rombowego.
  2. Ilustracja ta jest analogiczna do konstrukcji 24-komórki podanej w cytowanej książce Marcela Bergera na s. 490–491.
  3. Marcel Berger: Géométrie (tłum. na jęz. ros.). Москва: Мир, 1984, s. 490–494.
  4. Hilbert D., Cohn-Vossen S.: Geometria poglądowa (tłum. z jęz. niem.). Warszawa: PWN, 1956, s. 135–149.

BibliografiaEdytuj

  • The Geometrical Foundation of Natural Structure (Section 3-9)
  • Magnus Wenninger: Dual Models. Cambridge University Press, 1983. DOI: 10.1017/CBO9780511569371. MR730208. ISBN 978-0-521-54325-5.
  • The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 19, Rhombic dodecahedron
  • The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ​ISBN 978-1-56881-220-5​ (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 285, Rhombic dodecahedron)
  • Marcel Berger: Géométrie (tłum. na jęz. ros.). Москва: Мир, 1984.
  • Hilbert D., Cohn-Vossen S.: Geometria poglądowa (tłum. z jęz. niem.). Warszawa: PWN, 1956.

Linki zewnętrzneEdytuj

Modele komputeroweEdytuj

Projekty papieroweEdytuj

Zastosowania praktyczneEdytuj