Miara obrazowa

Miara obrazowa (ang. pushforward measure) – miara uzyskiwana poprzez przeniesienie pewnej miary z jednej przestrzeni mierzalnej do innej za pomocą funkcji mierzalnej.

Definicja formalna

Dla danych przestrzeni mierzalnych $(X,{\mathfrak {M}})$ i $(Y,{\mathfrak {N}}),$ funkcji mierzalnej $f\colon X\to Y$ oraz miary $\mu \colon {\mathfrak {M}}\to [0,\infty ]$ miarą obrazową miary $\mu$ nazywa się miarę $f_{*}(\mu )\colon {\mathfrak {N}}\to [0,\infty ]$ daną wzorem

${\big (}f_{*}(\mu ){\big )}(B)=\mu \left(f^{-1}(B)\right){\text{ dla }}B\in {\mathfrak {N}}.$

Definicja ta przenosi się mutatis mutandis na miary ze znakiem i zespolone.

Przykłady i zastosowania

• Za pomocą konstrukcji miary obrazowej i miary Lebesgue’a $\lambda$ na prostej rzeczywistej można zdefiniować naturalną „miarę Lebesgue’a” na okręgu jednostkowym $\operatorname {S} ^{1}$ (rozważanym tutaj jako podzbiór płaszczyzny zespolonej). Niech $\ell$ oznacza zawężenie miary Lebesgue’a do przedziału $[0,2\pi ],$ zaś $f\colon [0,2\pi )\to \operatorname {S} ^{1}$ będzie bijekcją naturalną określoną wzorem $f(t)=e^{it}.$ Wspomniana naturalna „miara Lebesgue’a” na $\operatorname {S} ^{1}$ jest wtedy miarą obrazową $f_{*}(\ell ),$ która może być także nazywana „miarą długości łuku” lub „miarą kątową”, ponieważ miara $f_{*}(\ell )$ łuku jest istotnie długością łuku (lub równoważnie miarą kąta środkowego wyznaczaną przez ten łuk).
• Poprzedni przykład łatwo rozszerza się do naturalnej „miary Lebesgue’a” na $n$-wymiarowym torusie $\operatorname {T} ^{n},$ przy czym jest on przypadkiem szczególnym zagadnienia z torusem, gdyż $\operatorname {S} ^{1}=T^{1}.$ Wspomniana miara Lebesgue’a na $\operatorname {T} ^{n}$ jest, z dokładnością do normalizacji, miarą Haara na zwartej, spójnej grupie Liego $\operatorname {T} ^{n}.$
• Miary gaussowskie na nieskończeniewymiarowych przestrzeniach liniowych określa się za pomocą miary obrazowej i standardowej miary Gaussa na prostej rzeczywistej: miarę borelowską $\gamma$ na ośrodkowej przestrzeni Banacha nazywa się gaussowską, jeżeli miara obrazowa $\gamma$ dowolnego niezerowego funkcjonału liniowego z ciągłej przestrzeni sprzężonej w $X$ jest miarą Gaussa na $\mathbb {R} ^{n}.$
• Niech dana będzie funkcja mierzalna $f\colon X\to X$ oraz $n$-krotne złożenie $f{:}$

$f^{(n)}=\underbrace {f\circ f\circ \dots \circ f} _{n{\text{ razy}}}\colon X\to X.$

Powyższe funkcje iterowane tworzą układ dynamiczny. Badanie takich układów oznacza m.in. poszukiwanie miary $\mu$ na $X,$ której przekształcenie $f$ zachowuje, tzw. miary niezmienniczej, czyli takiej, dla której $f_{*}(\mu )=\mu .$

• Można również rozważać miary quasi-niezmiennicze dla takiego układu dynamicznego: miara $\mu$ na $X$ nazywa się quasi-niezmienniczą względem $f,$ jeżeli tylko miara obrazowa $\mu$ w $f$ jest równoważna oryginalnej mierze $\mu$ (nie musi być jej równa).