Długość krzywej
Długość krzywej w przestrzeni euklidesowej (i ogólnie w przestrzeni metrycznej) można wyznaczyć w sposób przybliżony za pomocą łamanej, złożonej z odcinków prostoliniowych, łączących wybrane punkty krzywej. Im więcej odcinków ma łamana, tym dokładniej przybliży krzywą. Długością krzywej nazywa się graniczną wartość, do jakiej zbiegają długości łamanych o rosnącej liczbie odcinków, przybliżających tę krzywą. Ściślejszą definicję, opartą na powyższym opisie, podano dalej. Nie wszystkie jednak krzywe mają tę własność, że granica taka istnieje; przykładem są krzywe fraktalne (por. krzywa Kocha, krzywa Peana itp.)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Arclength.svg/290px-Arclength.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dc/Arc_length.gif/291px-Arc_length.gif)
Rozwój geometrii analitycznej doprowadził do odkrycia równań parametrycznych, za pomocą których opisuje się krzywe płaskie, krzywe w przestrzeni 3-wymiarowej, a w ogólności w przestrzeniach n-wymiarowych. W konsekwencji wyprowadzono wzory na obliczanie długości tak opisanych krzywych w sposób analityczny.
W przypadku ogólnym rozważa się krzywe w przestrzeniach metrycznych nieeuklidesowych. Długości krzywych w tym wypadku określa się z uwzględnieniem tensora metrycznego.
Definicja długości krzywej w przestrzeni euklidesowej
edytujNa krzywej zadajemy punktów ustawionych kolejno wzdłuż krzywej zaczynając od jej jednego końca i poruszając się do drugiego końca, przy czym punkty oraz umieszcza się odpowiednio na początku i na końcu krzywej. Niech oznacza sumę długości odcinków łamanej, wyznaczonej przez punkty tj.
gdzie jest długością odcinka o końcach
Jeżeli powyższa suma zmierza do ustalonej granicy dla rosnącego do nieskończoności, to graniczną wartość tej sumy nazywamy długością krzywej , tj.
Dowodzi się, że długość krzywej nie zależy od wyboru punktów łamanych, przybliżających daną krzywą
Krzywą której można w ten sposób przypisać długość, nazywa się krzywą prostowalną (lub rektyfikowalną).
W przeciwnym wypadku krzywą nazywa się nieprostowalną (nierektyfikowalną).
Parametryzacja krzywych
edytujEfektywnego opisu krzywych dostarcza geometria analityczna. Jedną z metod opisu krzywych jest opis za pomocą równań parametrycznych.
Niech będzie krzywą w przestrzeni euklidesowej -wymiarowej (lub ogólnie: w przestrzeni metrycznej) Istnieje wtedy funkcja wektorowa jednej zmiennej nazywana parametryzacją, która każdej liczbie przypisuje wzajemnie jednoznacznie współrzędne kartezjańskie każdego punktu krzywej Oznacza to, że:
A. dla parametryzacji krzywych płaskich trzeba podać dwie funkcje parametru
B. dla parametryzacji krzywych w przestrzeni 3-wymiarowej trzeba podać trzy funkcje parametru
C. dla krzywych w przestrzeni n-wymiarowej trzeba podać funkcji parametru
W ogólności można opisywać krzywe za pomocą współrzędnych krzywoliniowych, jak współrzędne biegunowe, sferyczne itd.
Przykłady: parametryzacja krzywych płaskich
edytujElipsa
edytujRównania parametryczne definiujące elipsę mającej środek w początku układu współrzędnych i główną oś wzdłuż osi o półosiach oraz jest funkcja mają postać
Funkcja parametrowi jednoznacznie przypisuje jeden punkt elipsy na płaszczyźnie
Spirala logarytmiczna
edytujRównania parametryczne spirali logarytmicznej są następujące:
gdzie – stałe, określające wymiary spirali, – parametr krzywej.
Przykład: parametryzacja krzywej przestrzennej
edytujWzór helisy położonej na powierzchni bocznej walca ma we współrzędnych kartezjańskich postać:
gdzie jest promieniem walca, a ilorazem prędkości ruchu punktu po tworzącej oraz prędkości kątowej obrotu walca – parametr krzywej.
Jeśli linia jest prawoskrętna; jeśli linia jest lewoskrętna.
Parametr naturalny krzywej
edytujJeżeli wyznaczy się zależność długości krzywej od ustalonego punktu początkowego do jej dowolnego punktu to za pomocą długości s można przedefiniować krzywą; wtedy nazywa się parametrem naturalnym krzywej.
Wzory na długości krzywych w 2D
edytuj(1) Współrzędne kartezjańskie
Jeśli krzywa płaska zadana jest funkcją która jest różniczkowalna, to rolę niezależnego parametru pełni współrzędna wtedy wzór na długość krzywej ma postać:
gdzie – pochodna funkcji względem zmiennej
(2) Współrzędne kartezjańskie i niezależny parametr
Jeżeli krzywa płaska jest sparametryzowana równaniami
gdzie funkcje i są różniczkowalne względem parametru to długość krzywej opisuje wzór[1]:
gdzie oraz – pochodne funkcji oraz względem parametru
(3) Współrzędne biegunowe
We współrzędnych biegunowych: jeżeli krzywa płaska jest wyrażona za pomocą współrzędnych biegunowych, tj. to wzór na długość krzywej ma postać:
Drugie wyrażenie odpowiada przypadkowi, gdy parametr jest równy współrzędnej kątowej, tj. wtedy
Przykład: Obliczenie długości cykloidy
edytujCykloida opisana jest równaniami parametrycznymi
gdzie jest promieniem toczącego się koła; jeden łuk cykloidy otrzymamy dla
Tw. Długość łuku cykloidy jest równa poczwórnej średnicy toczącego się koła, tj.
- Dowód:
Pochodne funkcji oraz względem parametru mają postać:
Podstawiając powyższe wyrażenia do wzoru (2)
dla otrzymamy
Korzystając ze wzoru trygonometrycznego na różnicę kosinusów
otrzymamy
W granicach całkowania wyrażenie jest nieujemne, stąd otrzymujemy ostatecznie równość
Wzory na długości krzywych w 3D
edytuj(1) Współrzędne sferyczne
Niech będzie dana krzywa zdefiniowana za pomocą równań parametrycznych w układzie współrzędnych sferycznych, gdzie jest kątem mierzonym od dodatniej półosi oraz kątem azymutalnym. Między współrzędnymi sferycznymi a kartezjańskimi zachodzą zależności
Stąd wyprowadza się wzór na długość krzywej wyrażonej we współrzędnych sferycznych
(2) Współrzędne cylindryczne
Analogicznie wzór na długość krzywej we współrzędnych cylindrycznych ma postać
Długości krzywych w przestrzeniach nieeuklidesowych n-wymiarowych
edytujPrzestrzenie nieeuklidesowe – to przestrzenie metryczne, stanowiące uogólnienie pojęcia przestrzeni euklidesowej, w ogólności -wymiarowe. Przestrzenie takie opisuje np. szczególna teoria względności oraz ogólna teoria względności Einsteina.
Odległość infinitezymalna między punktami: długość wektora łączącego punkt z infinitezymalnie odległym punktem zadana jest wzorem
gdzie to współrzędne tensora metrycznego (będące funkcjami położenia ).
Długość krzywej
Jeżeli krzywa dana jest przez równań parametrycznych
gdzie – punkty początkowy i końcowy krzywej, to wektor infinitezymalnego przemieszczenia wzdłuż krzywej ma postać
Długość infinitezymalnego przemieszczenia jest pierwiastkiem z iloczynu skalarnego wektora z samym sobą, tj.
Długość łuku krzywej jest równa całce z długości tych infinitezymalnych przemieszczeń, tj.
czyli ostatecznie mamy
Uwaga:
Wyżej podane wzory na długości łuku krzywej w przestrzeniach 2D i 3D są szczególnymi przypadkami powyższego, ogólnego wzoru. Mianowicie:
(a) w układzie współrzędnych biegunowych tensor metryczny ma niezerowe elementy, a przy tym niezależne od wektora wodzącego (por. Przykłady obliczeń tensora metrycznego)
– stąd wynika wzór (3) na długość łuku krzywej w tym układzie współrzędnych,
(b) w układzie współrzędnych sferycznych tensor metryczny ma niezerowe elementy, a przy tym niezależne od wektora wodzącego
– stąd wynika wzór (1) na długość łuku krzywej w tym układzie współrzędnych,
(c) w układzie współrzędnych cylindrycznych tensor metryczny ma niezerowe elementy, a przy tym niezależne od wektora wodzącego
– stąd wynika wzór (2) na długość łuku krzywej w tym układzie współrzędnych.
Zobacz też
edytujPomiaru długości krzywych w przestrzeniach nieeuklidesowych:
- rozmaitość – tu. m.in. Krzywe na rozmaitości
- rozmaitość riemannowska – rozdział: Krzywa w rozmaitości
- rozmaitość pseudoriemannowska
Krzywe nieprostowalne[2]:
Inne
Przypisy
edytuj- ↑ długość, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-01-27] .
- ↑ krzywa prostowalna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-10-03] .
Bibliografia
edytuj- N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny. Matematyka, PWN, Warszawa 2010.
- T. Trajdos, Matematyka dla inżynierów, PWN, Warszawa 1974.
Linki zewnętrzne
edytuj- Długość krzywej – filmik po polsku, Khan Academy
- Długość krzywej zadanej w postaci biegunowej – filmik po polsku, Khan Academy