Własność Baire’a

Własność Baire’a – własność zbioru wskazująca na pewnego rodzaju jego regularność: można go uważać za zbiór prawie otwarty. Nazwa nadana dla uhonorowania René-Louisa Baire’a.

Zbiór $A$ przestrzeni topologicznej $X$ ma własność Baire’a, jeżeli można go przedstawić w postaci różnicy symetrycznej $U\triangle M$ zbioru otwartego $U$ i mizernego $M;$ równoważnie: różnica symetryczna $A\triangle U$ zbioru $A$ i zbioru otwartego $U$ jest mizerna.

Przykłady

• Każdy zbiór borelowski ma własność Baire’a.
• Każdy zbiór mizerny ma własność Baire’a.
• W przestrzeniach polskich każdy zbiór analityczny ma własność Baire’a.
• Zarówno zbiory Vitalego, jak i zbiory Bernsteina nie mają własności Baire’a.

Własności

• W dowolnej przestrzeni topologicznej, zbiory o własności Baire’a tworzą σ-ciało podzbiorów tej przestrzeni. Jest to najmniejsze σ-ciało zawierające zarówno zbiory otwarte, jak i zbiory mizerne.
• Jeśli podzbiór $Z$ przestrzeni polskiej $X$ ma własność Baire’a, to odpowiednia gra Banacha-Mazura $\Game ^{\mathrm {BM} }(Z)$ jest zdeterminowana.
• Polscy matematycy Jan Mycielski i Hugo Steinhaus wykazali, że aksjomat determinacji pociąga własność Baire’a wszystkich podzbiorów prostej.

Mierzalność

Własność Baire jest najczęściej rozważana dla podzbiorów przestrzeni polskich czy wręcz podzbiorów prostej rzeczywistej. W tym kontekście jest ona często porównywana do mierzalności w sense Lebesgue’a. Matematycy pracujący w teorii mnogości, topologii, czy też teorii miary są często zainteresowani odkrywaniem podobieństw, jak i przeciwieństw między tymi własnościami.

• Twierdzenie Kuratowskiego-Ulama mówi, że

jeśli $X,Y$ są przestrzeniami polskimi i $A\subseteq X\times Y$ jest zbiorem o własności Baire’a,

to $A$ jest zbiorem mizernym wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór

${\big \{}x\in X:\{y\in Y:(x,y)\in A\}$ nie jest mizerny w $Y{\big \}}$

jest mizerny w $X$ (w istocie wystarczy założenie, że $X,Y$ są Hausdorffa i $Y$ ma przeliczalną π-bazę).

Powyższe twierdzenie jest uważane za topologiczny odpowiednik twierdzenia Fubiniego dla miary.

• Niech $X$ będzie przestrzenią polską i $A\subseteq X.$ Wówczas można znaleźć zbiór $B\subseteq X$ mający własność Baire’a i taki, że

jeśli $C\subseteq B\setminus A$ ma własność Baire’a, to $C$ jest mizerny.

Ten wynik jest często podawany jako topologiczny odpowiednik miary zewnętrznej.

• W 1970, Robert M. Solovay udowodnił, że zakładając istnienie liczby nieosiągalnej, istnieje model teorii mnogości w którym wszystkie rzutowe podzbiory prostej są mierzalne w sensie Lebesgue’a i mają własność Baire’a.
• W 1984 Saharon Szelach wykazał, że
  • model, w który wszystkie zbiory rzutowe mają własność Baire’a, może być otrzymany bez użycia liczb nieosiągalnych, ale
  • mierzalność zbiorów rzutowych implikuje, że $\omega _{1}$ jest liczbą nieosiągalną w uniwersum zbiorów konstruowalnych (Kurta Gödla).

Ten wynik Shelaha był jednym z pierwszych istotnych przykładów asymetrii pomiędzy własnością Baire’a a mierzalnością w sensie Lebesgue’a.

• Randall Dougherty, Matthew Foreman udowodnili, że jest możliwy paradoksalny rozkład kuli na kawałki które mają własność Baire’a. (Części rozkładu paradoksalnego muszą być niemierzalne).

Zobacz też

• twierdzenie Baire’a