Szereg 1 − 2 + 3 − 4 + …

Szereg 1 – 2 + 3 – 4 + ...nieskończony szereg, którego wyrazami są kolejne liczby całkowite dodatnie, wzięte z przemiennym znakiem. Zapisując standardowo sumowanie z użyciem wielkiej litery sigma -tą sumę częściową tego szeregu wyrazić wzorem:

Kilka pierwszych tysięcy wyrazów sum częściowych szeregu

Szereg ten jest rozbieżny, tzn. nie istnieje granica ciągu jego sum częściowych, tj. nie istnieje granica ciągu

Mimo to, w połowie XVIII wieku Leonhard Euler napisał równanie, które sam nazwał paradoksalnym[a]:

Ścisłe objaśnienie tego równania pojawiło się jednak znacznie później. Dopiero po 1890 roku Ernesto Cesàro, Émile Borel i inni badali ściśle określone metody przypisywania uogólnionych sum szeregom rozbieżnym – w tym obejmujące nowe interpretacje prób Eulera. Mimo wszystko wiele tych metod łatwo przypisuje szeregowi „sumę” Sumowalność metodą Cesàro jest jedną z kilku metod, które nie definiują sumy dla szeregu tak, że szereg jest przykładem wymagającym metody nieco silniejszej, takiej jak sumowalność metodą Abela.

Szereg jest blisko związany z szeregiem Grandiego Euler omawiał je jako specjalne przypadki dla dowolnego Ten kierunek badań rozszerzył jego prace na problem bazylejski, wiodąc ku równaniom funkcyjnym, których rozwiązania dziś znane są jako funkcja „eta” Dirichleta oraz funkcja „dzeta” Riemanna.

RozbieżnośćEdytuj

Kolejne wyrazy ciągu   nie zbliżają się do zera; stąd, na mocy twierdzenia przeciwstawnego do warunku koniecznego zbieżności szeregu, szereg   jest rozbieżny. Dla dalszego wywodu przyda się wyjaśnić tę rozbieżność w sposób bardziej podstawowy. Z definicji zbieżność albo rozbieżność szeregu wynika ze zbieżności albo rozbieżności ciągu jego sum częściowych, zaś ciągiem sum częściowych szeregu   jest[1]:

 
 
 
 
 
 
 

Ciąg ten ma za wyrazy wszystkie liczby całkowite (również 0, jeśli uwzględnić sumę pustą – por. Dodawanie#Zapis oraz liczba składników), ustala więc przeliczalność zbioru   liczb całkowitych[2]. Ciąg sum częściowych wyraźnie pokazuje, że szereg nie jest zbieżny do żadnej konkretnej liczby (dla każdej zaproponowanej granicy x, można wskazać punkt, poza którym kolejne częściowe sumy są poza przedziałem  ), a więc   jest rozbieżny.

Heurystyki dla sumowaniaEdytuj

Stabilność i liniowośćEdytuj

Ponieważ kolejne wyrazy   tworzą prosty wzór, szereg   może być manipulowany poprzez przesunięcia i term-by-term addition, aby uzyskać wartość numeryczną. Jeśli ma sens zapisanie   dla pewnej liczby, to następujące manipulacje wykazują, że  [3]:

 
 
Suma 4 kopii szeregu   przy wykorzystaniu tylko przesunięć i term-by-term addition, wynosi 1. Lewa i prawa strona rysunku reprezentują dwie kopie   które są upraszczane do równania  

Stąd   Sposób postępowania został przedstawiony graficznie na rysunku po prawej stronie.

Chociaż   nie posiada sumy w zwyczajnym znaczeniu, równanie   może zostać uznane jako najbardziej naturalne rozwiązanie, jeśli suma miałaby zostać określona.

Uogólnioną definicję „sumy” szeregu rozbieżnego nazywa się metodą sumowania, która dodaje pewne podzbiory ze wszystkich możliwych szeregów. Istnieje wiele różnych metod (kilka z nich jest opisanych poniżej), charakteryzowanych na podstawie właściwości, które współdzielą ze zwykłym dodawaniem. Powyższe manipulacje dowodzą tego, że: biorąc pod uwagę metodę sumowania, która jest stabilna i liniowa oraz sumuje szereg   otrzymujemy   Dodatkowo, ponieważ:

 

stąd ostateczne wyrazy szeregu wynosząjako  

Iloczyn Cauchy’egoEdytuj

W 1891 roku Ernesto Cesàro wyraził nadzieję, że szeregi rozbieżne będzie można poddać ścisłej analizie wskazując na tożsamość   i twierdząc, że obie strony tej równości są równe  [4]. Dla Cesàro to równanie stanowiło zastosowanie twierdzenia, które opublikował rok wcześniej, i które można określić jako pierwsze twierdzenie w historii o sumowaniu rozbieżnych szeregów. Szczegóły na temat tej metody są przedstawione niżej; głównym pomysłem jest to, że   jest iloczynem Cauchy’ego z   i  

Iloczyn Cauchy’ego dwóch nieskończonych szeregów jest zdefiniowany nawet jeśli oba szeregi są rozbieżne. W tym przypadku, gdzie   wyrazy iloczynu Caychy’ego są wyznaczane jako skończone sumy na przekątnych

 

stąd ostateczne wyrazy szeregu wynoszą

 

Zatem metoda sumowania, która zachowuje iloczyn Cauchy’ego i sumuje   będzie również sumować   Z wynikami z poprzedniej sekcji to oznacza równoważność między sumowalnością   i   z metodami, które są liniowe, stabilne i zachowują iloczyn Cauchy’ego.

Twierdzenie Cesàro jest subtelnym przykładem. Szereg   jest sumowalny w najsłabszym sensie, określanym mianem   natomiast   wymaga silniejszego wariantu twierdzenia[5][6], którym jest   Ponieważ cała rodzina sumowań (C, α) jest liniowa i stabilna to obliczone wartości sum są takie jak wyżej.

Metody specjalneEdytuj

Cesàro i HölderEdytuj

Aby znaleźć sumę Cesàro   z   jeśli istnieje, trzeba obliczyć średnią arytmetyczną sum cząstkowych szeregu, którymi są:

 

a średnie arytmetyczne z tych sum wynoszą:

 

Uzyskany ciąg średnich nie jest zbieżny, więc   nie jest sumowalny w sensie Cesàro.

Istnieją dwa znane uogólnienia dla sumowania metodą Cesàro: koncepcyjnie prostszą z nich jest ciąg metod   dla   będących liczbami naturalnymi.   jest sumowaniem metodą Cesàro, a metody wyższych rzędów są jej powtórzeniem na średnich. Powyżej, parzyste średnie są zbieżne do   podczas gdy nieparzyste średnie są wszystkie równe 0, stąd średnie ze średnich są zbieżne do średniej z 0 i   czyli  [7]. Można więc przyjąć, że   jest   sumowalny do  

Oznaczenie „H” oznacza Otto Höldera, który pierwszy udowodnił w 1882 roku związek pomiędzy sumowalnością metodą Abela a sumowalnością     był pierwszym przykładem[b][8][9]. Fakt, że   jest sumą   z   gwarantuje, że jest to również suma w sensie Abela.

Innym powszechnym uogólnieniem jest rodzina sumowań Cesàro   Zostało udowodnione, że sumowanie   i   podają zawsze takie same wyniki, ale mają one różne tło historyczne. W 1887 roku Cesàro był bliski podania definicji sumowalności   lecz podał tylko kilka przykładów. W szczególności zsumował   do   sposobem, który można by opisać jako   lecz bez uzasadnienia w tamtym czasie. Formalnie zdefiniował sumowanie   w 1890 roku aby podać twierdzenie, że iloczyn Cauchy’ego szeregu   sumowalnego z szeregiem   sumowalnym jest   sumowalny[10].

Sumowanie AbelaEdytuj

 
Niektóre wartości z     i granice w 1

W raporcie z 1794 roku Leonhard Euler przyznaje, że szereg jest rozbieżny, ale mimo to przygotowuje się go zsumować:

...kiedy mówi się, że sumą szeregu 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 itd. jest   to wydaje się to paradoksalne. Sumując 100 wyrazów z tego szeregu, otrzymujemy –50, jednak suma 101 wyrazów daje +51, co znacznie różni się od   a różnica rośnie wraz ze zwiększaniem liczby wyrazów. Lecz już wielokrotnie wcześniej podkreślałem, że jest potrzeba aby słowu suma nadać szerszego znaczenia...[c]

Euler zaproponował uogólnienie słowa suma wielokrotnie. W przypadku   jego pomysły są podobne do obecnej metody sumowania metodą Abela.

...już nie jest wątpliwe, że suma szeregu   to   gdyż wynika ona z rozwinięcia wzoru   której wartość jest bezsprzecznie   Pomysł staje się jaśniejszy rozważając uogólniony szereg   który można uzyskać w wyniku rozwinięcia wyrażenia   i który jest rzeczywiście równy rozważanemu szeregowi po podstawieniu  [11].

Istnieje wiele sposobów aby zauważyć, przynajmniej dla wartości bezwzględnych   Euler ma rację, że

 

Można zastosować szereg Taylora dla prawej strony równości lub dzielenie wielomianów. Zaczynając z lewej strony, można naśladować ogólną heurystykę powyżej i spróbować przemnożyć dwa razy przez   lub podnieść do kwadratu szereg geometryczny   Wydaje się również, że Euler zasugerował różniczkowanie tak uzyskanego szeregu wyraz po wyrazie.

Patrząc współcześnie, szereg   nie definiuje funkcji dla   więc ta wartość nie może zostać podstawiona pod wyrażenie. Ponieważ funkcja jest zdefiniowana dla wszystkich   jest możliwe wyznaczenie granicy dla   zmierzającego do 1, co jest definicją sumowania metodą Abela:

 

UogólnienieEdytuj

 
Fragment ze strony 233 z E212 – Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum. Euler sumuje podobne szeregi, około 1755 roku.

Potrójny iloczyn Cauchy’ego z   to   naprzemienny szereg z liczb trójkątnych; jego suma Abelowa to  [12]. Poczwórny iloczyn Cauchy’ego z   to   naprzemienny szereg z liczb czworościennych, którego suma Abelowa wynosi  

Innym uogólnieniem   w nieco innym kierunku jest szereg   dla innych wartości   Dla dodatnich i całkowitych   szeregi te mają następujące sumy Abelowe:

 

gdzie  liczbami Bernoulliego. Dla parzystych   wzór redukuje się do

 

Ostatnia suma stanowiła źródło kpin dla Nielsa Henrika Abela w 1826 roku:

Szeregi rozbieżne są w całości dziełem szatana i wstydem jest to, że próbuje się znaleźć na to jakikolwiek dowód. Można z nich uzyskać cokolwiek by się chciało jeśli zacznie się ich używać, i to one są źródłem wielu nieszczęść i paradoksów. Czyż można wymyślić coś bardziej przerażającego niż powiedzieć, że

 
gdzie   jest liczbą dodatnią. Oto coś do śmiechu, przyjaciele[13].

Nauczyciel Cesàro, Eugène Charles Catalan, również dyskredytował szeregi rozbieżne. Pod wpływem Catalana, Cesàro początkowo określał „tradycyjne wzory” dla   jako „absurdalne równości”, a w roku 1883 Cesàro wyraził tradycyjny pogląd, że wzory są fałszywe, lecz jakoś formalnie użyteczne. W końcu w 1890 roku w Sur la multiplication des séries, Cesàro rozpoczął nowoczesne podejście, zaczynając od definicji[14].

Szeregi były również badane dla niecałkowitych   które tworzą funkcję „eta” Dirichleta. Część z motywacji Eulera do badania szeregów powiązanych z   było równaniami funkcyjnymi funkcji eta, które prowadzą bezpośrednio do równań funkcyjnych funkcji dzeta Riemanna. Euler stał się już słynny ze znalezienia wartości tych funkcji dla dodatnich liczb parzystych (włączając w to problem bazylejski), i próbował również znaleźć rozwiązania dla dodatnich liczb nieparzystych (między innymi stałą Apéry’ego), problem, który do dzisiaj pozostaje nieuchwytny. W szczególności funkcja eta jest łatwiejsza do analizy metodami Eulera ponieważ jej szeregi Dirichleta są wszędzie sumowalne metodą Abela; szeregi Dirichleta funkcji dzeta są znacznie trudniejsze do zsumowania w miejscach, w których są rozbieżne[15]. Na przykład odpowiednikiem   w funkcji dzeta jest nienaprzemienny szereg 1 + 2 + 3 + 4 + ..., który ma głębokie zastosowanie w nowoczesnej fizyce, ale wymaga znacznie silniejszych metod do sumowania.

UwagiEdytuj

  1. Euler stwierdza, że sumy częściowe znacznie różnią się od   i postuluje rozszerzenie znaczenia wyrazu „suma” Euler i in. 2006 ↓, s. 2.
  2. Ferraro krytykował wyjaśnienia Tucciarone (s. 9) jak sam Hölder myślał o ogólnym wyniku, ale wyjaśnienia obu autorów o traktowaniu   przez Höldera są podobne.
  3. Euler i in. 2006 ↓, s. 2. Mimo że dokument został napisany w 1749 roku to jego publikacja nastąpiła w 1768 roku.

PrzypisyEdytuj

  1. Hardy 1949 ↓, s. 8.
  2. Beals 2004 ↓, s. 23.
  3. Hardy 1949 ↓, s. 6.
  4. Ferraro 1999 ↓, s. 130.
  5. Hardy 1949 ↓, s. 3.
  6. Weidlich 1950 ↓, s. 52–55.
  7. Hardy 1949 ↓, s. 9. Dokładne obliczenia podaje Weidlich 1950 ↓, s. 17–18.
  8. Ferraro 1999 ↓, s. 118.
  9. Tucciarone 1973 ↓, s. 10.
  10. Ferraro 1999 ↓, s. 123–128.
  11. Euler i in. 2006 ↓, s. 3, 25.
  12. Kline 1983 ↓, s. 313.
  13. Grattan-Guinness 1970 ↓, s. 80.
  14. Ferraro 1999 ↓, s. 120–128.
  15. Euler i in. 2006 ↓, s. 20–25.

BibliografiaEdytuj

  • Richard Beals: Analysis: an introduction. Cambridge UP, 2004. ISBN 0-521-60047-2. (ang.)
  • Leonhard Euler, Lucas Willis, Thomas J. Osler: Translation with notes of Euler’s paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series (ang.). The Euler Archive, 2006. [dostęp 2014-04-12]. Pierwotnie opublikowany jako Leonhard Euler. Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques. „Memoires de l’academie des sciences de Berlin”. 17, s. 83–106, 1768 (fr.). 
  • Giovanni Ferraro. The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics. „Archive for History of Exact Sciences”. 54 (2), s. 101–135, czerwiec 1999. DOI: 10.1007/s004070050036. 
  • Ivor Grattan-Guinness: The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann. MIT Press, 1970. ISBN 0-262-07034-0.
  • Godfrey Harold Hardy: Divergent Series. Clarendon Press, 1949. (ang.)
  • Morris Kline. Euler and Infinite Series. „Mathematics Magazine”. 56 (5), s. 307–314, listopad 1983. DOI: 10.2307/2690371. JSTOR: 2690371. 
  • John Tucciarone. The development of the theory of summable divergent series from 1880 to 1925. „Archive for History of Exact Sciences”. 10 (1–2), s. 1–40, styczeń 1973. DOI: 10.1007/BF00343405. 
  • John E. Weidlich: Summability methods for divergent series. Stanford M.S. theses, czerwiec 1950. OCLC 38624384. (ang.)