Twierdzenie Łuzina

Twierdzenie Łuzina – jedno z podstawowych twierdzeń teorii miary dotyczące przybliżania funkcji mierzalnych na prostej rzeczywistej (bądź ogólniej, na przestrzeniach z miarą Radona) przez funkcje ciągłe. Twierdzenie opublikowane w 1912 przez Łuzina. Littlewood wypowiedział nieformalnie twierdzenie Łuzina w następujący sposób: funkcje mierzalne są niemal ciągłe (zob. trzy zasady analizy rzeczywistej Littlewooda).

Klasyczna wersja

Niech

$f\colon [a,b]\to \mathbb {C}$

będzie funkcją mierzalną. Wówczas dla każdego $\varepsilon >0$ istnieje taki zbiór zwarty $K\subseteq [a,b],$ że zawężenie $f|_{K}$ jest funkcją ciągłą oraz

$\mu (K)>b-a-\varepsilon ,$

przy czym $\mu$ oznacza miarę Lebesgue’a.

Wersje ogólne

Wersja dla przestrzeni polskich

Niech $(X,\Sigma ,\mu )$ będzie przestrzenią polską ze skończoną miarą borelowską oraz niech $Y$ będzie przestrzenią topologiczną spełniającą drugi aksjomat przeliczalności. Jeżeli

$f\colon X\to Y$

jest funkcją mierzalną, to dla każdego $\varepsilon >0$ istnieje taki zbiór zwarty $K\subseteq X,$ że

$\mu (X\setminus K)<\varepsilon$

oraz restrykcja $f|_{K}$ jest funkcją ciągłą.

Wersja dla przestrzeni lokalnie zwartych

Niech $(X,\Sigma ,\mu )$ będzie przestrzenią lokalnie zwartą z miarą borelowską, która przyjmuje skończone wartości na zbiorach zwartych oraz jest wewnętrznie regularna na zbiorach otwartych, tj. dla każdego zbioru otwartego $U$ w $X$ zachodzi

$\mu (U)=\sup\{\mu (K)\colon K\subseteq U,K{\text{ zwarty}}\}.$

Jeżeli

$f\colon X\to \mathbb {C}$

jest funkcją mierzalną, to dla każdego $\varepsilon >0$ istnieje taki zbiór zwarty $K\subseteq X,$ że

$\mu (X\setminus K)<\varepsilon$.

Wersja dla przestrzeni normalnych

Niech $(X,\Sigma ,\mu )$ będzie przestrzenią normalną ze skończoną miarą borelowską, która jest regularna. Jeżeli

$f\colon X\to \mathbb {C}$

jest funkcją mierzalną, to dla każdego $\varepsilon >0$ istnieje taki zbiór domknięty $K\subseteq X,$ że

$\mu (X\setminus K)<\varepsilon$

oraz restrykcja $f|_{K}$ jest funkcją ciągłą.

Aproksymacja funkcją ciągłą

Niech $Y=\mathbb {C} .$ Każda przestrzeń metryczna jest normalna, więc twierdzenie Tietzego-Urysohna stosuje się do restrykcji $f|_{K}$ w wypowiedzi twierdzenia dla przestrzeni polskich i normalnych. W przypadku dotyczącym przestrzeni lokalnie zwartych zbiór $K$ jest zwarty, więc stosuje się wówczas wersja tego twierdzenia dla przestrzeni lokalnie zwartych. Oznacza to, że w każdym z tych trzech przypadków istnieje taka funkcja ciągła

$f_{\varepsilon }\colon X\to Y,$

że

$\mu (\{x\in X\colon f(x)\neq g(x)\})\leqslant \varepsilon$

oraz

$\sup _{x\in X}|f_{\varepsilon }(x)|\leqslant \sup _{x\in X}|f(x)|$.

W przypadku lokalnie zwartym, $f_{\varepsilon }$ może być dodatkowo dobrana tak by znikała ona w nieskończoności, tj. dla każdego $\delta >0$ zbiór

$\{x\in X\colon |f_{\varepsilon }(x)|\geqslant \delta \}$

jest zwarty.

Sformułowanie twierdzenia dla funkcji przyjmujących wartości w przestrzeniach spełniających drugi aksjomat przeliczalności pochodzi od Schaerfa.

Dowód wersji twierdzenia dla przestrzeni polskich

Niech $\varepsilon >0.$ Niech

${\mathcal {V}}=\{V_{j}\colon j\in \mathbb {N} \}$

będzie (przeliczalną) bazą przestrzeni $Y.$ Każda skończona miara borelowska na przestrzeni metrycznej jest regularna, więc z mierzalności funkcji $f$ wynika, że dla każdej liczby naturalnej $j$ można wybrać taki zbiór otwarty $U_{j}\subseteq X,$ że

• $U_{j}\supseteq f^{-1}(V_{j}),$
• $\mu (U_{j}\setminus f^{-1}(V_{j}))<{\frac {\varepsilon }{2^{j}}}.$

Niech

$H=\bigcup _{j=1}^{\infty }(U_{j}\setminus f^{-1}(V_{j}))$

oraz $E=X\setminus H.$

Wówczas $H,E\in \Sigma$ oraz

$\mu (H)\leqslant \sum _{j=1}^{\infty }\mu (U_{j}\setminus f^{-1}(V_{j}))\leqslant \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {\varepsilon }{2^{j}}}=\varepsilon .$

Niech $g=f|_{E}.$ Wówczas

$U_{j}\cap E=g^{-1}(V_{j})\quad (j\in \mathbb {N} ).$

(1)

Istotnie, inkluzja od prawej do lewej zachodzi z samego określenia przeciwobrazu. Ponadto,

${\begin{aligned}U_{j}\cap E&\subseteq U_{j}\cap [X\setminus (U_{j}\cap f^{-1}(U_{j}))]\\&=U_{j}\cap X\cap [(X\setminus U_{j})\cup f^{-1}(V_{j})]\\&=f^{-1}(V_{j}),\end{aligned}}$

co dowodzi (1).

Należy wykazać, że funkcja $g$ jest ciągła. Niech $V$ będzie zbiorem otwartym w $Y.$ Wówczas

$V=\bigcup _{j\in M}V_{j}$

dla pewnego zbioru $M\subseteq \mathbb {N}$ z uwagi na to, że rodzina ${\mathcal {V}}$ jest bazą przestrzeni $Y.$ Stąd,

$g^{-1}(V)=\bigcup _{j\in M}g^{-1}(V_{j})=E\cap \bigcup _{j\in M}U_{j},$

co oznacza, że zbiór $g^{-1}(V)$ jest otwarty w (topologii podprzestrzeni) $E.$

Z lematu Łuzina wynika istnienie takiego zbioru zwartego $K\subseteq E,$ że

$\mu (X\setminus K)<\varepsilon .$.

Zastosowania

Aproksymacja prawie wszędzie funkcji mierzalnych przez funkcje ciągłe

Niech $X$ będzie przestrzenią normalną oraz niech $\mu$ będzie skończoną regularną miarą borelowską na $X$ bądź niech $X$ będzie przestrzenią lokalnie zwartą oraz niech $\mu$ będzie miarą borelowską, która jest skończona na zbiorach zwartych oraz jest wewnętrzenie regularna na zbiorach otwartych. Wówczas dla każdej funkcji mierzalnej

$f\colon X\to \mathbb {C}$

istnieje ciąg funkcji ciągłych

$f_{n}\colon X\to \mathbb {C} ,$

który jest zbieżny do $f$ zbieżność prawie wszędzie oraz

$\sup _{x\in X}|f_{n}(x)|\leqslant \sup _{x\in X}|f(x)|\quad (n\in \mathbb {N} )$.

Gęstość funkcji ciągłych o zwartym nośniku w przestrzeniach funkcji całkowalnych

W przypadku, gdy $X$ jest przestrzenią lokalnie zwartą oraz $\mu$ jest miarą borelowską, która jest skończona na zbiorach zwartych oraz jest wewnętrzenie regularna na zbiorach otwartych, dla każdego $p\in [1,\infty )$ przestrzeń $C_{c}(X)$ funkcji ciągłych o zwartym nośniku jest gęsta w przestrzeni $L_{p}(\mu )$.

Istotnie, $C_{b}(X)$ jest podzbiorem $L_{p}(\mu ),$ gdyż dla każdej funkcji $g\in C_{c}(X)$ zachodzi

$\int \limits _{X}|g(x)|^{p}\,\mu (\mathrm {d} x)\leqslant \mu (\mathrm {supp} \,g)\cdot \sup _{x\in \mathrm {supp} \,g}|g(x)|^{p}<\infty$,

gdzie skończoność $\mu (\mathrm {supp} \,g)$ wynika z założenia o skończoności miary $\mu$ na zbiorach zwartych a nierówność

$\sup _{x\in \mathrm {supp} \,g}|g(x)|^{p}<\infty$

wynika z twierdzenia Weierstrassa. Niech $f\in L_{p}(\mu ).$ Ponieważ funkcje prawie wszędzie ograniczone w $L_{p}(\mu )$ są gęste bez straty ogólności można przyjąć, że $f$ jest wszędzie ograniczona. Oznaczmy

$M=\sup _{x\in X}|f(x)|.$

Niech dany będzie $\varepsilon >0.$ Z twierdzenia Łuzina wynika, że istnieje wówczas taki zbiór zwarty $K$ oraz funkcja $g\in C_{c}(X),$ że

• $g|_{K}=f|_{K},$
• $\sup _{x\in X}|g(x)|\leqslant M,$
• $\mu (X\setminus K)<{\frac {\varepsilon ^{p}}{(2M)^{p}}}.$

Wówczas

$\|f-g\|_{L_{p}(\mu )}^{p}=\int \limits _{X\setminus K}|f(x)-g(x)|^{p}\,\mu (\mathrm {d} x)\leqslant \mu (X\setminus K)\cdot \sup _{x\in X\setminus K}|f(x)-g(x)|^{p}\leqslant {\frac {\varepsilon ^{p}}{(2M)^{p}}}\cdot (2M)^{p}=\varepsilon ^{p},$

co dowodzi gęstości $C_{c}(X)$ w $L_{p}(\mu ).$

Bibliografia

• Robert B. Ash: Real analysis and Probability. New York, San Francisco, London: Academic Press, 1972, seria: Probability and Mathematical Statistics: A Series of Monographs and Textbooks. Brak numerów stron w książce
• Vladimir I. Bogachev: Measure theory. T. 1. Springer, 2007. ISBN 978-3-540-34513-8. Brak numerów stron w książce
• Zdzisław Denkowski, Stanisław Migórski, Nikolaos S. Papageorgiou, An Introduction to Nonlinear Analysis: Theory, Kluwer Academic/Plenum Publishers, Boston-Dordrecht-London-New York 2003, ISBN 0-306-47392-5.
• Alexander S. Kechris: Classical descriptive set theory. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1995, seria: Graduate Texts in Mathematics, 156. ISBN 0-387-94374-9. Brak numerów stron w książce
• John Littlewood, Lectures on the Theory of Functions. Oxford University Press, 1944.
• Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973. Brak numerów stron w książce
• Walter Rudin: Analiza rzeczywista i zespolona. Warszawa: PWN, 1986. ISBN 83-01-05124-8. Brak numerów stron w książce
• Charles Swartz: Measure, Integration and Function Spaces. Singapore, New Jersey, London, Hong Kong: World Scientific, 1994. ISBN 978-981-02-1610-8. Brak numerów stron w książce
• J. Yeh: Real Analysis: Theory of Measure and Integration. Wyd. 2. Singapore, New Jersey, London, Hong Kong: World Scientific, 2006. Brak numerów stron w książce