Przestrzeń słabo ciągowo zupełna

Przestrzeń słabo ciągowo zupełna – przestrzeń Banacha $E$ o tej własności, że każdy słaby ciąg Cauchy’ego $(x_{n})$ punktów tej przestrzeni jest zbieżny w sensie słabej topologii (ciąg $(x_{n})$ punktów przestrzeni $E$ jest słabym ciągiem Cauchy’ego, gdy dla każdego funkcjonału liniowego i ciągłego $f$ na $E$ ciąg wartości $(f(x_{n}))$ jest zbieżny w ciele skalarów).

Przykłady

• Domknięta podprzestrzeń przestrzeni słabo ciągowo zupełnej jest słabo ciągowo zupełna.
• Każda przestrzeń refleksywna jest słabo ciągowo zupełna.

Dowód. Niech $(x_{n})$ będzie słabym ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni refleksywnej $X.$ W szczególności, zbiór wyrazów tego ciągu jest ograniczony w normie (por. twierdzenie Banacha-Steinhausa), tj. istnieje taka stała dodatnia $M,$ że $\|x_{n}\|\leqslant M$ dla każdego $n.$ Ponieważ przestrzeń $X$ jest refleksywna, z twierdzenia Banacha-Alaoglu wynika, że kula domknięta $B(0,M)$ w przestrzeni $X$ o środku w zerze i promieniu $M$ jest słabo zwarta. Ciąg $(x_{n}),$ którego wyrazy zawarte są w $B(0,M),$ ma punkt skupienia $x$ (w słabej topologii), należący do $B(0,M).$ Ponieważ dla każdego funkcjonału $f\in X^{*}$ granica $\lim f(x_{n})$ istnieje, więc $f(x)$ jest punktem skupienia ciągu skalarów $(f(x_{n})).$ Ostatecznie, $f(x)=\lim f(x_{n}).$ Dowodzi to tego, że $X$ jest przestrzenią słabo ciągowo zupełną. □

• Dla dowolnej miary $\mu ,$ przestrzeń L₁(μ) jest słabo ciągowo zupełna (jest to twierdzenie Steinhausa).
• Każda przestrzeń o własności Schura jest słabo ciągowo zupełna (zob. dowód).
• Przestrzeń Banacha, której przestrzenią sprzężoną jest algebra von Neumanna jest słabo ciągowo zupełna. W szczególności, przestrzeń sprzężona do C*-algebry jest słabo ciągowo zupełna.
• Przestrzeń c₀ nie jest słabo ciągowo zupełna. Jeżeli $(e_{n})$ oznacza jej kanoniczną bazę Schaudera, to ciąg $(e_{1}+\ldots +e_{n})$ jest słabym ciągiem Cauchy’ego, który nie jest słabo zbieżny. W szczególności, jeżeli $K$ jest nieskończoną przestrzenią zwartą, to przestrzeń $C(K)$ nie jest słabo ciągowo zupełna, bo zawiera podprzestrzeń izomorficzną z $c_{0}.$
• Krata Banacha jest słabo ciągowo zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera podprzestrzeni izomorficznej z $c_{0}.$
• Druga przestrzeń sprzężona przestrzeni słabo ciągowo zupełnej nie musi być słabo ciągowo zupełna – stosownym kontrprzykładem jest ℓ₁-suma n-wymiarowych przestrzeni euklidesowych z normą maksimum, tj.

$E=\left(\textstyle \bigoplus _{n=1}^{\infty }\ell _{\infty }^{n}\right)_{\ell _{1}}.$

(gdyż $E^{**}$ zawiera podprzestrzeń izomorficzną z $\ell _{\infty }$).

Bibliografia

• F. Albiac, N.J. Kalton: Topics in Banach Space Theory. Springer-Verlag GmbH, 2006. ISBN 978-0-387-28141-4.
• J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, Classical Banach Spaces I and II: Sequence Spaces; Function Spaces, Springer 1996, s. 31, 34–37 ISBN 3-540-60628-9.